On the Maslov index

Maslov指标最迷人的特征是它以不同的形式出现于现代数学的各个领域。有鉴于辛几何在统一不同数学分支中的作用,Weinstein提出了所谓的“辛哲学”,这或许可以作为其中一个例证。
从“量子数学”的角度看,可以用一句话概括Maslov指标的作用:它在不同极化模型之间扮演了相因子(phase factor)的角色。

From Manifolds to Grassmannians
给定辛空间(V^{2n},\omega),其Lagrange子空间模空间称为Lagrage Grassman流形。遵从Arnold,我们将其记为\Lambda(V)\Lambda(n)。必要时,也可以考虑作为正向极限的稳定LG流形\Lambda(\infty)
在几何中,Grassman流形几乎是“万有对象”的同义词。具体地说,以P\Lambda(n)上的重言丛(tautological bundle),我们有如下保持向量丛结构的自然映射:
(1)TN \to NP \to \Lambda(n)N是辛流形(M^{2n},\omega)的Lagrange子流形;
(2)\mathfrak{P} \to MP \to \Lambda(n)\mathfrak{P}TM的可积Lagrange子丛,又称为极化(polarization);
因而,在LG流形上定义的Maslov指数可以作为某种“万有示性类”理解。

The Ambient Space
LG流形是齐性空间\Lambda(n)=U(n)/O(n)\mathrm{dim}(\Lambda(n))=n(n+1)/2。辛群Sp(2n)可迁地作用于\Lambda(n)
从Lie代数的角度看,视\mathfrak{u}(n)斜Hermite形式斜对称形式\mathfrak{o}(n)为其实部,则LG流形在l处的切空间与斜Hermite形式的虚部,即l上的对称形式,有一个自然同构(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)) \mapsto B[\gamma(t),\dot{\gamma}(t)]\gamma:[a,b] \to \Lambda
给定l后,我们可以将\Lambda(n)分解为\Sigma_k的不交并,\Sigma_k中的l'满足\mathrm{dim}(l' \cap l)=k。连通开流形\Sigma_k的余维数为k(k+1)/2l' \in \Sigma_k处的切向量v满足B[l',v]|_{l \cap l'}=0.
l' \in \Sigma_0,则称l'l横截相交(intersect transversally)。这是微分拓扑意义上的一般位置(generic position)。奇点集\Sigma=\overline{\Sigma_1}=\cup_{k \geq 1}\Sigma_k\Lambda(n)的代数子流形,称为Maslov闭链(Maslov cycle)。
标准的同伦序列计算指出\Lambda(n)的基本群为\Bbb Z,故H_1(\Lambda(n);\Bbb Z)=H^1(\Lambda(n);\Bbb Z)=\Bbb Z\Sigma所在的同调类与l的选取无关:其Poincaré 对偶\alphaH^1(\Lambda(n);\Bbb Z)的生成元。

The Index for a Loop
(Maslov指标\mu,定义1) 对于闭曲线\gamma:[a,b] \to \Lambda\gamma(a)=\gamma(b)=l,扰动\gamma使其横截于\Sigma_1(作为Maslov闭链\Sigma的稠密子集)。定义\mu(\gamma)\gamma\Sigma_1相交数
由同伦不变性知此定义与基点l的选取无关。
Arnold  Characteristic class entering in quantization conditions
曲线闭合的假定允许我们将此定义同调化:对于\gamma:S^1 \hookrightarrow \Lambda,定义\mu(\gamma)=\alpha[f(S^1)]
Arnold提供了一个计算\mu(f)的方法:对于任意l',均存在g \in U(n)满足g(l)=l',其判别式精确到\pm 1。这在整个LG流形上定义了映射\mathrm{det}^2: \Lambda(n) \to S^1\mu(f)\mathrm{det}^2 \circ f:S^1 \to S^1卷绕数(winding number)。

The Index for a Path
Arnold仅对闭曲线\gamma定义了Maslov指标,因为他需要一般位置的论证来保证\gamma\Sigma_1横截相交。
若我们允许更一般的相交方式,则可以对任意\gamma定义Maslov指标。具体地说,称I[l,\gamma,t]=B[\gamma(t),\dot{\gamma}(t)]|_{l \cup \gamma(t)}\gamma(t)处的相交形式,B有非平凡的定义当且仅当\gamma(t) \in \Sigma。我们记I[l,\gamma,t]的号差为\sigma[l,\gamma,t]
(Maslov指标\mu,定义2) 对于\gamma:[a,b] \to \LambdaI[l,\gamma,t]保持非奇异(几何上这意味着\gamma和所有\Sigma_k横截相交), 定义
\mu(\gamma)=\frac{1}{2}\sigma[l,\gamma,a]+\frac{1}{2}\sigma[l,\gamma,b]+\sum_{a<t<b}\sigma[l,\gamma,t]
Robbin, Salamon  The Maslov index for paths

The Index for Two Paths
Arnold指出闭曲线的Maslov指标可以理解为卷绕数。熟知卷绕数有一个相对形式的版本(relative version)——2条闭曲线的环绕数(linking number)——这促使我们寻找相对Maslov指标的定义。
给定\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to \Lambda,定义相对相交形式
I[\gamma_1,\gamma_2,t]=I[\gamma_1,\gamma_2(t),t]-I[\gamma_2,\gamma_1(t),t]
其号差记为\sigma[\gamma_1,\gamma_2,t]
(Maslov指标\mu,定义3)对于\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to \LambdaI[\gamma_1,\gamma_2,t]保持非奇异, 定义
\mu(\gamma_1,\gamma_2)=\frac{1}{2}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,a]+\frac{1}{2}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,b]+\sum_{a<t<b}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,t]
定义2是\gamma_1(t) \equiv l的情况。
Cappell, Lee, Miller指出可以用以下6条公理刻画Maslov指标\mu(\gamma_1,\gamma_2)
(1)底空间VV=\Bbb R^2时满足归一化条件;
(2)底空间V:辛可加性;
(3)时间参数t:仿射不变性;
(4)道路\gamma:可加性;
(5)道路\gamma:同伦不变性;
(6)道路\gamma:辛不变性;
Cappell, Lee, Miller  On the Maslov index

The Index for a Triple of Points
对于Lagrange子流形的三元组(l_1,l_2,l_3),定义Kashiwara指标1\tau(l_1,l_2,l_3)为实二次型Q(x_1,x_2,x_3)=\omega(x_1,x_2)+\omega(x_2,x_3)+\omega(x_3,x_1)的号差。这个定义属于柏原正树(Masaki Kashiwara)。
Lion, Vergne  The Weil representation, Maslov index and Theta series
\tau是辛不变的,我们可以认为这个整值函数是\Lambda(V)上2维单形的“有向面积”(2-上闭链),它决定了2维单形的辛等价类。
通过单形分解,我们可以对任意2维单纯复形定义Kashiwara指标。
考虑\gamma_i:[a,b] \to \Lambdai=1,2,3h_{jk}(t)\gamma_j(t) \cap \gamma_k(t)的维数。\tau\mu有一个形如Newton-Leibniz公式的关系:
\tau(\gamma_1(b),\gamma_2(b),\gamma_3(b))-\tau(\gamma_1(a),\gamma_2(a),\gamma_3(a))=2[\mu(\gamma_1,\gamma_2)+\mu(\gamma_2,\gamma_3)+\mu(\gamma_3,\gamma_1)]+\sum[h_{jk}(b)-h_{jk}(a)]

Indices on the Total Spaces
给定纤维丛E \to \Lambda,上面讨论过的所有指标均在E上有自然的定义:投影映射的“拉回”。E的常见例子包括万有覆叠\tilde{\Lambda}和辛群Sp(2n)

Other facets
A.Ranicki建立了一个关于Maslov指标的主题站,搜罗了大量有价值的原始资料。
下面是一张(并不完备的)清单。

(1) 在研究WKB近似时,Maslov考虑了相空间V的Lagrange子流形M到构型空间p=0的投影问题。为了研究投影的奇点集,他取M中横截奇点集的曲线,并定义其与奇点集的相交数为Maslov指标。在他之前,Keller在研究Bohr-Sommerfeld量子条件时也定义过类似的概念。

(2) Weil 表示是辛群的“典范”射影酉表示,Kashiwara指标在其中扮演着Schur乘子的角色——辛不变量籍由表示论深入到了数论的领域。

(3) Hörmander在研究Fourier算子理论时定义了Hörmander指标s(l_1,l_3;l_2,l_4)。可以证明Hörmander指标恰为4边形(l_1,l_2,l_3,l_4)的Kashiwara指标的一半。
Hörmander  Fourier Integral Operators I

(4) 在经典力学/几何光学中,Hamilton-Jacobi力学和Lagrange力学是一体两面的存在,因而辛几何和Riemann几何中的变分问题也有着天然的联系。Duistermaat试图将Maslov指标与Morse指标联系起来,因而考虑了Morse指标在Legendre变换下的对应概念:Duistermaat指标。Duistermaat指标不满足道路可加性,其补正项恰恰是Hörmander指标s(l_1,l_3;l_2,l_4)
Duistermaat  On the Morse index in variational calculus

(5)我们转向拓扑。将可定向流形L^{4k}沿闭流形M^{4k-1}切成2片,Novikov证明了号差的可加性:\sigma(L)=\sigma(L_1)+\sigma(L_2)。当\partial M非空时,Wall指出上述公式需要一项补正:\partial M作为3个流形边缘的嵌入映射给出辛空间H_{2k-1}(N;\Bbb R)的3个Lagrange子空间,补正项是它们的Kashiwara指标。
Wall  Non-additivity of the signature

(6)对于(5)中的现象,我们有另一种理解方式。Atiyah, Patodi和Singer试图将Hirzebruch号差定理推广到带边的紧4k维流形,在此过程中他们发现补正项是边缘上某个Dirac算子的“指标”(对无穷和取zeta函数正则化)。这个补正项在数学上称为eta不变量,对应物理中的谱不对称性(spectral asymmetry)。
Atiyah, Patodi, Singer  Spectral asymmetry and Riemannian Geometry. I
就我们的目的而言,重要的是如下事实:给定2组Lagrange子空间,我们可以定义某个Dirac算子D。相对Maslov指标是D\epsilon-谱流(spectral flow),从而可以由D的eta不变量表出,详见Cappell, Lee, Miller。用这一事实重新证明(5)将是有趣的。

(7)Floer同调论在某种意义上是(4)(6)的综合。Maslov指标以Conley-Zehnder指标的形式出现在某些Cauchy-Riemann型算子的谱流计算中。


  1. 最早提出这个概念的人可能是Jean Leray:
    Leray  Lagrangian Analysis and Quantum Mechanics 
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Quantization as Deformation I

Very early in my study of physics, Weyl became one of my gods. I use the word “god” rather than, say, “outstanding teacher” for the ways of gods are mysterious, inscrutable, and beyond the comprehension of ordinary mortals.
——Schwinger

Weyl是研究量子物理与表示论联系的第一人。这个领域至今依然非常迷人:表示论、代数几何、复几何、弦论乃至数论都交织在一起。
Weyl  Quantenmechanik und Gruppentheorie

From Weyl Algebra to Heisenberg Lie Algebra
一般地,“量子化问题”可以陈述为:给定描述物理过程的经典模型(辛流形上的Hamilton系统,Riemann流形上的Lagrange系统,etc.),将可观测量函数系统地替换为某个Hilbert空间上的算子,使其满足特定的量子化条件。
1926年,Heisenberg发现了位置算子和动量算子的如下对易关系(CCR):
[P_i,Q_j]=-\sqrt{-1}\hbar\delta_{ij}\hbar为约化Planck常数                   (1)
视(1)为量子化条件,Weyl研究了PQ生成的算子环:对2k维线性空间V,(1)中Kronecker delta函数可以实现为V上的辛形式\omegau \otimes v-v \otimes u=\omega(u,v)定义了V上的Weyl代数W(V)。在这个意义上,经典力学对应对称代数,而Weyl代数(物理文献中又称为CCR代数)是对称代数的“量子化”。
从Lie群的角度看,(1)又可以理解为某个Lie代数的结构方程:以辛形式定义Lie括号,在Weyl代数的生成元中加入单位元R(一维中心扩张)后生成的实Lie代数称为Heisenberg代数。其对应的幂零Lie群即著名的Heisenberg群H_{2k+1}H_{2k+1}可以在\Bbb R^{2k} \times \Bbb R上实现为:
(v_1,t_1)+(v_2,t_2)=(v_1+v_2, t_1+t_2+\omega(v_1,v_2)/2)
Heisenberg群出现在数学的各个领域:从Abel簇的构造 (Mumford) 到3维流形的分类 (Thurston)。其与theta函数的天然联系指向数论、模形式和数学物理。

Unitary Representations of the Heisenberg Group
数学家的谨慎使Weyl不愿意处理P,Q这样的无界算子;另一方面,量子力学的物理诠释要求可观测量a对应自共轭算子A,于是过渡到Lie群层面后,e^{iA}为酉算子(至少在形式上),这是特别令人满意的。
一般地,对于构型空间\Bbb R^k和算子P_i, Q_i1 \leq i \leq k,引入参数a,b \in \Bbb R^k并定义
X(a)=e^{\sqrt{-1}aQ}Y(b)=e^{\sqrt{-1}bP},向量相乘理解为内积
由此可以将对易关系(1)写成指数形式(又称Weyl形式):
\displaystyle X(a)Y(b)X(a)^{-1}Y(b)^{-1}=e^{-\sqrt{-1}\hbar ab}                                  (2)
此处的计算是形式的,可视为Baker–Campbell–Hausdorff公式的一个特例。
X(a), Y(b)\Bbb R^k的酉表示。Weyl的创辟之处在于他坚持统一处理共轭量的表示:
\displaystyle W:(a,b) \mapsto e^{(\sqrt{-1}\hbar/2)ab}X(a)Y(b)
由于XY不可交换,W不是\Bbb R^{2k}的酉表示,却诱导一个射影酉表示W满足W(a,b)W(a',b')=m(a,b:a',b')W(a+a',b+b')Schur乘子\displaystyle m(a,b;a',b')=e^{(\sqrt{-1}\hbar/2)(ab'-ba')}在单位圆上取值。
物理上,这个射影酉表示非常令人满意:它对应量子力学中的波函数归一化。数学上我们有一个等价描述:定义Z(c)=e^{\sqrt{-1}cR}c \in \Bbb R,并取
W:(a,b,c) \mapsto X(a)Y(b)Z(c)
此时W扩张为Heisenberg群H_{2k+1}的酉表示。乘子项m(a,b;a',b')得到了更好的解释:它对应H_{2k+1}的“挠部分”\omega(v_1,v_2)/2

Three Models
尽管H_{2k+1}有非常简单的矩阵模型,它的酉表示却不可能是有限维的。下面是3个无穷维酉表示的例子。
模型1(theta表示) 给定上半平面的复数\tau,赋予整函数f:\Bbb C \to \Bbb C如下范数:
\displaystyle \parallel f \parallel^2_\tau=\int_{\Bbb C} e^{(-2\pi y^2/Im(\tau))}|f(x+\sqrt{-1}y)|^2 dxdy
满足\parallel f \parallel^2_\tau<\infty的整函数f构成Hilbert空间\mathcal{H}_\tauH_3\mathcal{H}_\tau上有不可约酉表示
\displaystyle (W_t(a,b,c)f)(z)=e^{\sqrt{-1}\pi(a^2\tau+2az+c)}f(z+a\tau+b)
特别地,H_3的Abel子群\Bbb Z^2作用于\mathcal{H}_\tau上有唯一的不变向量,即Jacobi theta函数
模型2(Fock表示)视\Bbb R^{2k}=\Bbb C^k,赋予全纯函数f:\Bbb C^k \to \Bbb C如下范数:
\parallel f \parallel^2=\int_{\Bbb C^k} e^{-|z|^2}|f(z)|^2 dz
满足\parallel f \parallel^2<\infty的全纯函数f构成Segal-Bargmann空间\mathcal{H}.
\partial_iz_i诠释为阶梯算子1,我们有
\displaystyle Q_i=\frac{1}{\sqrt{2}}(\partial_i+z_i)\displaystyle P_i=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(-\partial_i+z_i)
自共轭算子P_i,Q_i给出Weyl代数W(\Bbb R^{2k})\mathcal{H}上的不可约表示。
模型3(Weyl表示;Schrödinger模型) 取L^2(\Bbb R^k)为表示空间,H_{2k+1}有不可约酉表示
\displaystyle (W_s(a,b,c)\psi)(x)=e^{\sqrt{-1}(ax+\hbar c)}\psi(x+\hbar b)
这个表示被称为Schrödinger模型,由此可以获得量子力学的波动力学描述:例如,取R为Hamilton算子He^{\sqrt{-1}tH}\psi=W_s(0,0,t)\psi=e^{\sqrt{-1}\hbar t}\psi。相因子无关紧要,我们可以认为波函数在单参数酉群e^{\sqrt{-1}tH}的作用下不变(能量守恒)。取微分过渡到Lie代数层面,即得到Schrödinger方程

Stone-von Neumann Theorem
Weyl提出了如下问题:是否Heisenberg群H_{2k+1}的任意不可约酉表示均酉等价于Schrödinger模型W_s?1930年前后,Stone和von Neumann各自独立地给出了肯定的回答——从而给出了矩阵力学等价于波动力学的又一个证明。
(Stone-von Neumann定理) H_{2k+1}的任意酉表示均酉等价于若干个W_s的直和。
von Neumann的原始证明可以在以下著作中找到
Folland Harmonic analysis in phase space
实Heisenberg群是局部紧Abel群\Bbb R^{2k}的中心扩张。Weyl提出可以将\Bbb R替换为有限群\Bbb Z_n,作为玩具模型来研究。另一方面,根据Lefschetz原理,也有理由将\Bbb R替换为其他局部域 (尤其是p-adic数域) 的加法群进行研究。这都要求我们推广局部紧Abel群上的调和分析
具体来说,我们以局部紧Abel群G取代\Bbb R^{2k},以2-闭上链取代辛形式\omega。中心扩张1 \to U(1) \to H \to G \to 1给出抽象Heisenberg群H
群上同调论的角度看,Schur乘子m(a,b;a',b')作为2-闭上链的结构是清楚的:
m(x+y;z)m(x;y)=m(x;y+z)m(y;z)
对于抽象Heisenberg群,Stone-von Neumann定理有一个深远的推广:Mackey理论。关于其主定理,一个细致且清晰的证明可以在下面这本书中找到:
Mumford  Tata Lecture on Theta III
当然也可以参看Mackey本人的著作,以及
Varadarajan  Geometry of quantum mechanics, Vol.2

Weyl Quantization
局部紧Abel群满足Pontryagin对偶。对于相空间\Bbb R^{2k}而言,这个对偶关系是(q,p) \mapsto (a,b).
经典物理量是(q,p)的函数。Weyl量子化,或者,Weyl变换,指的是(1)通过Fourier逆变换将经典物理量变为(a,b)的函数;(2)通过Weyl表示将(a,b)的函数变为算子(Q,P)的函数,也即Q_\hbar: f \mapsto W(F^{-1}f).
不难证明,(1)Q_\hbar(f)自共轭当且仅当f是实函数; (2) 若f速降函数,则Q_\hbar(f)迹类算子并有一个积分核表示。
对于一般的局部紧Abel群,我们也可以定义Weyl变换。p-adic数域的情况或许是最有趣的,不仅和数论紧密相关,而且有可能应用于物理上:某些数学物理学家(例如Volovich)怀疑Planck尺度下的时空是非Archimedes的。
Weyl变换的逆变换称为Wigner变换。这是一个非常有趣的变换:量子概念的经典“对应”常常有意料之外的物理意义。

Weyl-Moyal Algebra
1940年前后,Moyal对Weyl量子化进行了更深入的考察。和Weyl不同,他感兴趣的对象不是算子,而是经典函数空间:Weyl忽略了经典函数空间的Poisson结构,而这正是Moyal希望研究的。
定义Moyal积\cdot_\hbar为算子复合运算在Wigner变换下的拉回2
Q_\hbar(f_1 \cdot_\hbar f_2)=Q_\hbar(f_1)Q_\hbar(f_2)
定义Moyal括号[f_1,f_2]_\hbar=f_1 \cdot_\hbar f_2-f_2 \cdot_\hbar f_1,我们有:
Q_\hbar([f_1,f_2]_\hbar)=[Q_\hbar(f_1),Q_\hbar(f_2)]
这在经典函数空间(不妨取成Schwartz空间)上定义了一个Poisson代数结构,我们称其为Moyal代数。
\hbar \mapsto 0时,Moyal代数趋于退化,这对应经典物理的假定:测量顺序不影响结果。一般地,我们希望研究Moyal代数对参数\hbar的依赖。
展开到一阶:
\displaystyle f_1 \cdot_\hbar f_2=f_1 f_2+\frac{\sqrt{-1}\hbar}{2}\{f_1,f_2\}+O(\hbar^2)
\displaystyle [f_1,f_2]_\hbar=\sqrt{-1}\hbar\{f_1,f_2\}+O(\hbar^2)
事实上,展开到二阶后,\displaystyle [f_1,f_2]_\hbar=\sqrt{-1}\hbar\{f_1,f_2\}+O(\hbar^3)3.

为了将Moyal代数的结构看得更加清楚,我们必须推广对Poisson括号的定义:取2组变元q^{(1)},p^{(1)},q^{(2)},p^{(2)}。定义S(\Bbb R^{2k} \times \Bbb R^{2k})上的微分算子\Pi=\Sigma(\frac{\partial}{\partial q_j^{(1)}} \otimes \frac{\partial}{\partial p_j^{(2)}}-\frac{\partial}{\partial p_j^{(1)}} \otimes \frac{\partial}{\partial q_j^{(2)}}),定义S(\Bbb R^{2k} \times \Bbb R^{2k}) \to S(\Bbb R^{2k})的对角算子D(f)(q,p)=f(q,p,q,p),Poission括号相当于这两个算子的复合:
\{f_1,f_2\}=D \circ \Pi(f_1 \otimes f_2)=P(f_1 \otimes f_2)
由此我们可以定义Poisson括号的“幂”:P^N(f_1,f_2)=D \circ \Pi^N(f_1 \otimes f_2)
于是形式上我们有
\displaystyle f_1 \cdot_\hbar f_2=e^{(\sqrt{-1}\hbar/2)P}(f_1,f_2)
\displaystyle [f_1,f_2]_\hbar=\frac{2}{\hbar}\sin(\frac{\hbar}{2}P)(f_1,f_2)
这就是Moyal括号又被称为“正弦括号”的原因。

Deformation Quantization
通过上述对Moyal代数的考察,我们发现以\hbar为形变参数,量子代数可以视为经典代数的形变。这个观点由Flato等人首次提出。特别地,他们证明了对于S(\Bbb R^{2k})上的经典Poisson代数结构,Moyal代数在规范等价的意义上是唯一可能的形变——也就是说,量子力学是经典力学唯一可能的“形变”。
一般地,令A为某光滑流形X上所有光滑函数的代数。A上的Moyal积定义为
(f,g) \mapsto f \star g=fg+\hbar C_1(f,g)+\hbar^2 C_2(f,g)+\cdots \in A[[\hbar]]
此处\hbar为形式变元,C_i为双微分算子。
为了进行形变,我们要求Moyal积不仅仅是一个形式的渐进展开,而是一个真正的解析展开。这一点并没有先验的保证。
Darboux定理,辛流形上的局部Poisson代数结构总能形变为Moyal代数。我们只需在装备一个平坦的辛联络之后,将这个局部形变扩张到整个流形上。对于一般的Poisson流形,情况要复杂得多。此时Kontsevich量子化公式给出一个Moyal积的形式定义(这是Kontsevich获得1998年Fields奖的原因之一),但尚不清楚它是否在规范等价的意义上给出唯一可能的形变量子化。
Kontsevich  Deformation quantization of Poisson manifolds
物理学家将Kontsevich量子化公式及作为其推广的形式化猜想(formality conjecture)理解为某种扰动弦论。尽管这个想法在物理上非常自然,但和“量子数学”中的诸多结果一样,我们要面临在数学上严格处理Feynman路径积分的困难。
Cattaneo, Felder  A path integral approach to the Kontsevich quantization formula


  1. 这个数学模型在量子场论中有着全然不同的物理意义:\partial_iz_i被称为消灭和创生算子,Hamilton算子的特征分解给出Fock空间\mathcal{H}的分次结构,量子数代表粒子数。这是Fock表示命名的由来。 
  2. Moyal积的定义首次出现于Groenewold的博士论文中:
    Groenewold  On the Principles of elementary quantum mechanics 
  3. Dirac提出的正则量子化 (更确切地,对应于单粒子的一次量子化,或者,辛流形的几何量子化)以Poisson括号描述非交换性,上式指出这只在二阶近似的意义上成立。历史上人们很早就发现作为量子论的半经典近似,正则量子化会导致不可避免的内在矛盾。例如,Groenewold-van Hove不可行定理(no-go theorem)指出对于次数大于2的多项式f(x_1,x_2),一个自洽的正则量子化是不可能的。