月旦 XV

For May, 2017

这个月我花了不少时间阅读da Vinci的手稿，部分出于对「创造」（作为一种思维过程）的好奇。
Université de Montpellier保存有Grothendieck生前留下的大约28000页数学文件。除去部分信件（涉及著作权问题），大约18000页文件（包括手稿、录音稿和印刷件）已被电子化并向全社会开放。
对于著作权，Grothendieck看得很轻。但是否愿意发表这些文件，或者说「草稿」，则又是另一回事。坦白一点说吧：是我们这些俗人太过渴求这份智识遗产，以至于一方面故意无视这位圣人生前「禁止流通」的意愿，另一方面又默认了会得到宽容，从而心安理得地持续侵犯其身后的著作权利。
尽管如此，我想我个人还是能鼓起勇气说：愿您的在天之灵原谅，并继续指引我们向前！

MathOverflow上有一个非常有趣的问题：关于有限域上的单值化定理。或者更进一步，关于-进域上的良约化曲线，考虑其单值化问题。其精神，自然还是来自Grothendieck的anabelian geometry。得益于望月新一的工作，这个领域在这两年得到了相当多的关注。

镜对称的新近进展大多来自辛几何的方向。不过凝聚束的导出范畴，作为一个有独立趣味的对象，始终不失其价值。对有志于从事现代复代数几何研究的人来说，John Calabrese新近的讲课笔记或许是一个不错的入门选择。在了解了导出范畴的基本概念后，可以马上用最简单的例子来增进我们的直觉：例如，考虑复Abel簇，以及Fourier变换的「范畴化」——Fourier–Mukai变换。

Ricci流的话题，在经过世纪初的十年喧嚣后，已经逐渐冷却下来了。我对这方面研究现状的了解，仅仅到S.Brendle的differentiable sphere theorem为止。
作为一个对几何分析不怎么感兴趣的人，最近终于有机会学习了一点Ricci流的技术细节。觉得如果有机会给本科生讲一点Ricci流的话，大概会选择Nick Sheridan「小时候」写的综述，特别是里面关于curve-shortening flow的部分，是一个很不错的「引子」。
当然也拜读了Perelman的文章。中国有句古话，叫「行百里者半九十」。落到几何化猜想的证明上：我的感觉是Hamilton完成了前90%的工作，理应分享一半的功劳——如果不是因为那场不幸的优先权之争，很多人也不会产生顾忌，迟迟不敢讲出这个比较接近事实、在事后看来也确实非常明显的论断吧！
熵在各种意义上让我着迷。值得深思的下面这件事：统计力学的Maxwell-Boltzmann观点较亲近于Riemann几何，而Gibbs观点则利用了辛几何的语言。Perelman的和泛函至少在形式上更接近Gibbs在Elementary Principles in Statistical Mechanics中提出的表述。是否有人考虑在纯辛几何框架下的相应概念呢？或者，再把视野放广一点——我们又回到了月旦 IX——是否有人考虑过如何将Legendre变换范畴化呢？
请注意，在「能量泛函的数学应用」方面，我们已经走得相当远了：Morse理论->Floer同调->Fukaya范畴。

把Guerino Mazzola的The Topos of Music当「三上」读物来读，才不至于太失望。无法严肃地读，是因为无法赞同作者的方法论：依我看，用抽象数学去「解剖」音乐的尝试是不会成功的。
数学家往往高估了自己的能力。事实上我们能处理的仅仅是极度理想化的模型，现实的复杂性是任何数学理论都无力承受的。
von Neumann:”If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.”正言若反，这其实是最诚实的道白啊。

Question to you all out there: Suppose we go and modernize (no quotes) our physics program. What should we add? What should we take away? 
这个问题不容易回答。我还可以进一步地缩小提问的范围：现代物理教育需要哪些数学课程？比如说，群论是必须的吗？表示论呢？需要多少微分几何？还是说，应该花更多时间在编程学习和数值计算上？

一则花边新闻：法国新科总理Macron所创建的政党En Marche!提名2010年度的Fields奖得主Cédric Villani参选Essonne第5选区的议员。
2012年我在美国见到Villani，并以此为契机写了《Boltzmann方程，H定理和非平衡态统计力学》。我对他的聪明（还有自恃）印象很深，但实在没有想到，他在当了几年「科普明星」后会选择步入政界。
法国数学家有搞科普的传统：Poincaré正是凭借几本极受欢迎的科普著作才得以入选Académie française（此前他已无可争议地入选Académie des sciences）. 同时，法国数学家也有当政客的传统：Lagrange是护宪元老会的成员。Laplace在Napoleon手下做过6个月内政部长，在Bourbon王朝复辟后又被封为侯爵。Paul Painlevé两度出任法国总理，应该是法国数学家中「行政级别」最高者——如果不考虑Napoleon皇帝本人也曾提出过一条初等几何定理的话！

最后，是一个（不知道算不算「备受期待」的）通知：
《Weil猜想漫谈》将恢复连载。感谢大家的耐心等待。
下面这张图，姑且算是自勉（和自嘲）吧：