月旦 XIV


For April, 2017

AMS: Open Math Notes
总的来说,质量还不错。希望有三:有更多数学家参与,覆盖更广阔的领域,以及讨论更深入更前沿的课题。早就应该有属于共享时代的Annals of Mathematics Studies了!

Hadamard Lectures 2017, IHÉS:
Peter Scholze, On the local Langlands conjectures for reductive groups over p-adic fields
我还没来得及看。读者之中想必会有人对Scholze在想些什么感兴趣吧。

在介绍Weil猜想时(抱歉!等各种状态都更稳定一些,我一定会完成这个连载),我们顺带介绍了Grothendieck的标准猜想D及其在万有上同调理论中的核心地位。Voevodsky的一项重要工作是在代数闭链的4种经典等价关系之外,引入了第5种等价关系:Z_1粉碎-幂零等价 (smash-nilpotence equivalent)于Z_2,若对充分大的n(Z_1-Z_2)^{\otimes n}有理等价于0.
粉碎-幂零等价弱于代数等价,但强于同调等价。推广标准猜想D,我们有
(Voevodsky幂零猜想) 粉碎-幂零等价与数值等价重合。
arXiv上有一篇新文章:
Ornaghi, Pertusi Voevodsky’s conjecture for cubic fourfolds and Gushel-Mukai fourfolds via noncommutative K3 surfaces
这当然是一个很特殊的例子,没有太大的参考价值。然而对于不太了解这方面工作的人而言,却可以由此知道一些新进展:比如2014年提出的Bernardara-Marcolli-Tabuada猜想,等等。
进入新领域并不难:找到最新的文章(或者文献综述),按图索骥,念掉里面提到的最重要的几篇论文,就可以开始自己动手做点事情了。

依然是导出几何。Orlov有一个很自然的猜想:导出等价的光滑射影簇有同构的(\Bbb Q系数) Chow动机。在月旦 XII中,我们提到了Huybrechts新近的结果:K3曲面(事实上,任意代数曲面)满足Orlov猜想。通过Kimura–O’Sullivan的「有限维Chow动机」,这个猜想可以和我们介绍过的Bloch-Beilinson猜想联系起来,共同构成导出几何的一个非常美妙的子领域:植根于古典的同调论和相交理论,却又导向最深刻的代数几何结果。

The Race to Quantum Technologies and Quantum Computers (Useful Links)
顾名思义。
最令我感到好奇的还是量子科技的「远景」——比如,人脑是否是一台量子计算机?量子纠缠会是最终解开意识之谜的钥匙吗?Fischer假设已经在这个方向上迈出了第一步——并不那么坚定的一步——未来还有太多的工作等待着我们。
在构成新理论的所有原料中,想象力或许是最重要的。

「对周期与共振的唯象研究已有上千年的历史」,这件事我很早之前就知道。然而直到最近我才真正意识到,最广意义上的「周期与共振」几乎出现在现象世界的每一个角落。例如,同居女性的月经周期有逐渐趋于一致的现象,而其中又有不少例子,是趋于一致后又逐渐背离;「经济周期」并没有先验的存在理由,毋宁说是各个生产部门的生产周期在几十年上百年的尺度上逐渐趋于共振;天文学中有著名的「轨道共振」现象:卫星的周期趋于有理比例,但最终未必会达到「潮汐锁定」的状态;等等。
我们手头并没有一个完备的数学理论来判断共振的终态是否在各种意义下稳定:遍历理论、KAM理论只能给出部分的回答。
我们的无知是惊人的。光对人类的理智有信心还不够:我们必须确保一个允许知识积累的社会环境,才能把理性的每一次进步都确确实实地转化为共同知识的增量。即使不是历史循环论者(又一个周期!),也有理由担心像中世纪那样的「失落年代」再次降临——在漫天火光中,书是唯一值得抢救的东西。

一定的危机感是必要的。在某种意义上,科学家的工作就是为社会「忧天」。「气候变化很危险!」「AI很危险!」「Trump大砍研究经费,这种想法很危险!」这些呼声中透露出孩子般的真诚(你也可以说是「幼稚」)。这种孩子气本身——而非观点的正误——是“great society”不可或缺的一部分。向所有可能性保持开放,把这当成是对未来的投资,有勇气和科学家们一起承担“trial and error”的风险——对商人来说,这样理解会不会容易一点?
以上,是对“March for Science”的感想。

很凑巧:上个月的月旦提到了Timothy John Berners-Lee爵士对互联网未来的忧虑。几天后,ACM就宣布授予他2016年度的Turing奖,“for inventing the World Wide Web, the first web browser, and the fundamental protocols and algorithms allowing the Web to scale”.
人类偶尔也会对奉行理想主义的同类展露温情的一面。但历史总是更加残酷。我这么说,是因为TimBL的忧虑也是我的忧虑,而在我看来,任何个人都已无力阻挡这个令人忧虑的未来成为现实。
我知道这种悲观或许是不理性的,但理性告诉我,这种不理性也是「工作」的一部分。

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One thought on “月旦 XIV

  1. Anonymous says:

    提到周期,我想起来之前记录的一个念头:https://www.douban.com/note/593491907/

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