月旦 XII


For January & February, 2017

Edge的年度问题:What scientific term or concept ought to be more widely known?
出色的回应很多,足够有心人看上好几天。我就不一一列举了。
我自己当然给不出什么正经回应。倒是在闲谈中戏仿过《论语》里的「孔鲤过庭」,博得朋友一笑:
曰:「学量子力学乎?」对曰:「未也。」「不学量子力学,无以知认识论。」退而学量子力学。曰:「学计算理论乎?」对曰:「未也。」「不学计算理论,无以知方法论。」退而学计算理论。闻斯二者。

Polymath 12关注的依旧是一个组合问题:Rota基猜想。和许多组合猜想一样,它的叙述非常、非常简单,只用到一点点线性代数。
通常我对组合问题的兴趣不大,不过也有例外。早在月旦 I中我们就曾提到,拟阵(matroid)这一概念虽然是组合的,却也容许一个代数几何诠释。近两年颇为热门的「组合(代数)几何」将复代数几何中的正定性定理、Lefschetz-Hodge理论等工具类比地应用于此类组合问题的研究,取得了不少成果。例如,组合几何版的强Lefschetz定理和Hodge-Riemann关系可以用来证明Rota的另一个关于拟阵的猜想:
Adiprasito, Huh, Katz  Hodge Theory for Combinatorial Geometries
我相信用类似的思路可以解决Rota基猜想。或者说只有这种解答才是「有趣」的。

Daniel Litt将我们的注意力引向Will Sawin的一篇文章,该文讨论了意大利代数几何学派遗留下来的一个经典问题:n点标记的、亏格g曲线的模空间的双有理几何。特征p的Severi猜想虽然被证否了,但我们还未得到一副足够完整的「全图」。

One-Sentence Theorem:导出等价的K3曲面的Chow动机同构。Cool!

形变量子化感兴趣的读者或许也会对这份讨论Poison几何的讲义感兴趣。

我和Y已有两年没有见面。今年春节重逢,照例讨论了许多数学问题,其中就包括Ramanujan-Petersson猜想和Selberg 1/4猜想。研究后者的进路之一是将其视为「算术流形的拓扑与几何」这个大纲领的一部分——这个纲领当然是非常迷人的!
受到Agol对拟Haken猜想的证明的鼓舞,算术拓扑学家开始考虑所谓的「拟凝聚上同调论」(virtual coherent cohomology)。这方面的研究还处于探索状态,但颇有可能在未来几年取得相当的进展。

我和Y合作的第一篇论文(美好的回忆!)用到了如下经典结果:虚二次域有类数1当且仅当其判别式d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163
从「现代」的观点看,按类数分类虚二次域是一个「笨」纲领。Gauss时代的理想已经「落伍」了!然而,即使是出于对第一篇论文的怀念,我也很乐意看到这个纲领(在大型计算机的帮助下)得以实现。
一个较新的进度报告:我们已经得到了类数小于100的虚二次域全表
P.S. 碰巧的是,3月的Quanta Magazine刊载了一篇以Cohen-Lenstra heuristics(或者说「类数的统计学」)为主题的文章。 Bhargava是一个Gauss意义上的经典数论学家(不要忘记,同样是Gauss开创了「统计数论」),虽然在方法论上,他可能更接近Kronecker和他的“Jugendtraum”.

T. S. Eliot说”April is the cruelest month”,因为四月是属于”memory and desire”的季节。在那之前,”Winter kept us warm, covering / Earth in forgetful snow, feeding / A little life with dried tubers. ” 此刻,我们希望将悼念和敬意献给在这个冬天逝世的几位大师:

  • Kenneth Arrow (1921-2017):我们曾经讨论过著名的Arrow不可能定理。与其说这是一个经济学/社会学定理,倒不如这是一个「语言学」定理:我们所熟悉的「量化」并不足以囊括将经验世界数学化的一切努力。Arrow用这个关于序关系的定理开阔了我们的想象力。
  • Igor Shafarevich (И́горь Ростисла́вович Шафаре́вич, 1923-2017):苏俄时代的「三大佬」(Kolmogorov, I.M.Gelfand, Shafarevich) 终于都进入历史了。这三位的贡献既深且广,我不够资格来做总结。然而我会永远记得那些读Basic Notions of Algebra的夜晚!我能给数学系新生(以及某些有天分的高中生)的最好建议就是:想学一点「经典数学」吗?读Shafarevich的Number TheoryBasic Notions of Algebra,还有那两卷Basic Algebraic Geometry吧!
  • Bertram Kostant (1928-2017):Kostant培养了众多优秀的表示论专家。他最重要的工作大概是几何量子化中的预量子化过程(Kostant-Souriau公式)以及Hochschild同调论中的Hochschild–Kostant–Rosenberg定理。关于前者,我们在很多年前就有讨论的打算——可惜至今那篇post还躺在草稿堆里!
  • Ludvig Faddeev (Лю́двиг Дми́триевич Фадде́ев, 1934-2017):作为Leningrad数学物理学派的领袖,Faddeev关于Yang-Mills场的论著以及将量子逆散射方法应用于量子可积系统的研究使学界受益良多,可惜尚未有机会在本博客上作一讨论。我颇想就后者写一些posts. 然而,我知道,我在这方面的记录并不让人满意。(是的,这是自嘲。)

已经不是新闻了:围棋之后,德州扑克也已被AI攻陷
我们正在见证「机器学习算法革命」的第一波浪潮。值得补充的或许是问题的理论方面。除了1月Science上讨论德州扑克的最新文章外,我们还想特别提请读者注意一篇旧文章:Poker-like games with a bounded number of states are in P.

最后我们还是请出老朋友Scott Aaronson:他新写了一份讨论P v.s. NP的综述。有兴趣的朋友不妨一读。

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