月旦 III


For April, 2016

April is the cruellest month,breeding
Lilacs out of the dead land, mixing
Memory and desire, stirring
Dull roots with spring rain.

数论和数学物理的交互作用一直以来都是我最感兴趣的话题。一个显赫的例子是几何Langlands纲领。新近发展起来的”Arithmetic Chern-Simons Theory”则是另一个例子。
Minhyong Kim, Arithmetic Chern-Simons Theory I
关于这篇文章的「背景」,我很难在D.Moskovich的基础上说出更多了(原因之一是他的information source包括Kim本人),因此推荐大家直接去读他的博文

本月在Seminar上了解到的一个新概念是量子微积分。这个名字容易引起混淆:由于近三四十年来数学家特别喜欢用「量子」为对象命名,在现代数学中至少有两个名为量子微积分(quantum calculus, or quantized calculus)的理论。
其中之一研究微分代数的量子形变,在不涉及级数时是一个纯代数理论。个人认为,比较合适的名字或许是直截了当的q-微积分/h-微积分。
这一理论初等到可以作为大一讨论班的材料,甚至,为程度较好的高中生所理解。
Kac, Cheung  Quantum Calculus (第二作者是第一作者在MIT新生讨论班上的学生)
事情当然也有较深入的一面。例如我们可以为微分代数加上额外的结构,成为Lie代数乃至泛包络代数。后者的q-量子形变,作为Hopf代数,有另一个容易引起误会的名字——量子群
第二个名为「量子微积分」的理论由Alain Connes创立,是非交换几何的一部分。这是另一个量子化理论——或许,应该被称为「上量子化」(coquantization)才对1
有鉴于非交换几何在研究无穷维模空间中的作用,量子微积分在Teichmüller理论中得到应用或许并不那么让人惊奇。感兴趣者可以参考下面这篇文章(Seminar所讨论的主要内容):
Nag, Sullivan  Teichmüller theory and the universal period mapping via quantum calculus and the H^{1/2} space on the circle

这个月在Seminar上了解到的另一个概念是超Kähler范畴。和Calabi-Yau流形不同,已知的超Kähler流形的例子相当少。发展一个基于同调代数的超Kähler几何理论,其原动力有二:一是尝试构造更多的例子,二是希望在超Kähler流形上测试某些关于CY流形的一般性猜想,例如Kontsevich的同调镜对称猜想
Roland Abuaf, Compact hyper-Kähler categories I : Theory
此外还有一句闲话。近些年越来越强烈的感想是:就影响的广度论,(范畴化的)同调代数理论或许是Grothendieck-Deligne最重要的遗产。

本月想推荐的notes是Fulton, Pandharipande  Notes on stable maps and quantum cohomology,内容包括Gromov-Witten不变量量子上同调以及(作为推论的)计数几何中的Kontsevich公式——虽然以一位Fields奖获得者命名,却包含一些高中生能够理解、也一定会感兴趣的简单推论。

我知道自己不会被轻易说服,通常也无意去改变他人。最省力的方式当然是高挂「免战牌」:「各自保留意见好了」,即所谓的agree to disagree.
所以当我初次了解到Aumann定理时,确实感到意外且好奇。这条定理大致是说,如果两个「诚实且理性」的人,经过充分交流后,各自了解了对方立论的论据,那么,即使他们对这些论据的可靠度评估不同,也必然会在结论的可靠度上达成一致,其间不存在任何求同存异的空间!
Aumann  Agreeing to Disagree
当然,在进一步了解了定理的数学表述后,我觉得这条定理的教谕意义在别处:人类通常不够「诚实」,也不具有Bayesian意义上的「理性」。人类甚至很可能不具有量化的「理性」——在讨论Arrow定理时,我已就功利主义的哲学基础表达过类似的观点。

Gil Kilai在AMS notice上发表了一篇讨论量子计算的科普文章,The Quantum Computer Puzzle简言之,他提出了一个关于量子噪音本性的dichotomy,其中的“悲观假设”将否决建设通用量子计算机 (universal quantum computer) 的可能性2

什么是「好的」科学哲学?我想我可以举出新近读到的一篇文章作为例子。
Mathias Frisch, Why things happen讨论了我们应该如何理解因果性。这个问题牵涉极广,单单因果性和相关性的关系3就值得大书特书。Frisch从事例出发,未陷入「玄学」的讨论,也不强作解人,试图「指导」科学——这些都是「科学哲学家」容易犯的毛病。文章虽然不长,更谈不上面面俱到,却堪称intriguing.
对这个话题有兴趣的人可以进一步参考Mathias Frisch的专著Causal Reasoning in Physics.

来自卢昌海兄的轶闻:《费曼与酒》。
我初读《讲义》第一卷是在初三。和卢兄相比,过早受到了第三章末尾的冲击,以致现在很难对其作出客观评价了4

arXiv的用户应该已经注意到该网站正在进行一次用户调查,以决定未来发展的方向。我认为每一个关心「学术开源化」的人都应该参与其中,贡献自己的意见和建议。It really matters.
此外,文献管理软件Zotero也在进行用户调查

下个月的「月旦」会稍微改变一下形式,尝试着讨论一两个我目下正在考虑的问题。
The summer is coming.


  1. 我们曾经讨论过量子化的问题。正则量子化,Weyl量子化和几何量子化或许应该称为「上量子化」,而形变量子化则是「量子化」,这样可以区分量子化实际发生的空间。 
  2. 此处有一个微妙的问题,即我们仍须区分各种「不可能」:在我们面前至少有实践上的不可能,物理原理上的不可能,以及数学/逻辑上的不可能。而且,从哲学的角度看,我们还不知道(也许永远不会知道)后两种「不可能」是不是同一的——我想,在谈论die beste aller möglichen Welten时,Leibniz大概默认了此处的非同一性吧。 
  3. 是的,这两个概念并不等同——这已经是cliché了——然而问题在于:我们能在此基础上说出更多吗? 
  4. 就像我现在很难客观评价《春晓》或者《静夜思》一样。 

4 thoughts on “月旦 III

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