月旦 II


For March, 2016

K.Soundararajan和R.L.Oliver发现相邻素数在同余类中的分布体现出某种非随机性,并提出可以用第一Hardy-Littlewood猜想孪生素数猜想的推广)解释这一现象:
Unexpected biases in the distribution of consecutive primes
这当然是一个很有趣的发现,但称之为「数论突破」就太过分了。之前我们曾提及Soundararajan在量子唯一遍历性猜想方面的工作,那显然重要得多。
我曾经写过一篇文章讨论如何评定数论问题(乃至数学问题)的价值。现在回头看,写得不好,有不少可以再议之处。

最密球堆积 (densest sphere packing) 是离散几何的核心论题之一。在3维,我们有古老的Kepler猜想(已被Hales用「穷举法」证明)1
此前已知在8维和24维,E_8Leech格点给出最密格点堆积 (densest lattice packing). 新近的突破是,Maryna Viazovska等人证明了在相应维数的球堆积中,E_8和Leech格点同样是最密的。
Viazovska  The sphere packing problem in dimension 8
Cohn, Kumar, Miller, Radchenko, Viazovska  The sphere packing problem in dimension 24
但凡注意到一位研究新星就去猜测他/她是否有可能得Fields奖,这太愚蠢了。为了显得稍稍聪明一点,我决定换一种表述方式:作为Zagier的学生,Viazovska继承了将模形式理论应用于数论、物理和离散几何等广阔领域的研究路数(代表人物是Soundararajan的导师——Peter Sarnak,以及Don Zagier)。在我看来,这个历史悠久的研究方向在当前依然promising.

给定\Bbb Q上的椭圆曲线E,Mazur的一个经典结果决定了其Mordell-Weil群可能具有的所有挠子群(仅有有限个)。这也是我们曾经讨论过的话题
几何挠猜想是上述结果在复函数域上的类比和推广:对于拟射影复曲线C上的Abel簇,其Mordell-Weil群可能具有的挠子群的阶数受控于某个只取决于C的亏格的常数。
B.Bakker和J.Tsimerman新近证明了此猜想对于具有实乘 (real multiplication) 的Abel簇成立。
反方向上,我们有所谓的Frey–Mazur猜想:对于p>17\Bbb Q上的椭圆曲线Ep-挠元诱导的Galois表示决定了E同源类
J.Tsimerman和B.Bakker证明了此猜想在复函数域上的类比成立。他们的证明有赖于双曲几何。或许现在应该考虑的问题是将相应的几何概念“算术化”以证明Frey–Mazur猜想。
将眼界再抬高一些,我相信对Langlands纲领的研究也应该这样进行:首先,在几何侧发展出强力的技巧,其灵感可能源于几何与理论物理的紧密联系;之后,将几何概念算术化——Ngô对基本引理的证明即遵循了这一思路。

我希望这能成为「月旦」的保留环节:以某条经典定理为主题,考察现代研究如何「消化」掉原本相对繁难或者芜杂的证明。继上个月的Bogomolov-Tian-Todorov定理之后,本月的主题是Borel-Weil-Bott定理。Jacob Lurie提供了一个相对单刀直入的证明

另一个有可能被固定下来的环节是推荐一些未出版发行但具有相当价值的Lecture Notes. 本月的推荐包含一系列读物,featuring 反常层 (perverse sheaf2,日译「偏屈層」3),D-模相交同调论。代数方面,我们有Gelfand, Manin Homological Algebra,或者该领域的决定性著作Kashiwara, Schapira Sheaves on Manifolds: With a Short History.
相交同调论方面,Kirwan, Woolf An Introduction to Intersection Homology Theory是标准的入门书,但我们想特别推荐的是MacPherson本人的讲义Intersection homology and perverse sheaves他试图用几何观点(Morse理论)来重构整个理论。我敢很自信地说,将这一观点严格化的努力将成为推动理论继续发展的新动力,值得后来人付出努力。

关于信息与概率:Maximum entropy from Bayes’ theorem

Quanta magazine访谈:Michael Atiyah’s Imaginative State of Mind
Atiyah is always intriguing.

Book Review: The Serre-Tate Correspondence
当年翻阅Serre-Grothendieck Correspondence时想到的闲话,不妨借此机会说一说:Serre之所以对Hurwitz深具认同感,是否也有部分原因在于他意识到Serre-Grothendieck的关系近似于半个世纪之前的Hurwitz-Hilbert?

Science发表了一篇关于Shor算法物理实现的论文Realisation of a scalable Shor algorithm. 关于此文,Scott Aaronson的评论可能值得一读。

观点:What sort of physics — if any — should be funded on the margin right now by someone trying to maximize positive impact for society, perhaps over the very long term?

关于轰动一时的小保方晴子STAP细胞论文造假事件,纽约客推出了一篇重磅稿件:
The Stress Test: Rivalries, intrigue, and fraud in the world of stem-cell research
或许我们可以借此机会,思考一下可以如何改进现代科研体制。也可以尝试着自我拷问:我们自以为坚不可摧的知识,有多少是建立在「绝对信任他人/权威/体制」的基础之上?

出乎绝大多数专业选手的意料,Google研发的围棋AI AlphaGo在本月的五番棋比赛中以4:1的比分击败韩国围棋国手李世乭,引发了关注围棋、AI甚至「人类前途」的热潮。
中文互联网上,个人认为较有价值的信息源包括:
(1)微信公众号「喆理围棋」。在国内所有围棋职业选手中,李喆六段对围棋AI的了解和分析最为深入。
(2)田渊栋在知乎上的问答和专栏。他在Facebook参与围棋AI DarkForest的研发,是具有过硬背景的专业人士。
(3)微信公众号「机器之心」致力于AI文化的传播。最大的看点可能在于比赛期间推出的系列独家访谈。

此时此刻,或许是时候重温这篇2010年的文章:The Chess Master and the Computer. 作者是前国际象棋世界冠军、当年被DeepBlue击败的Kasparov.
棋手常被置于运动员和戏子之间,是「巫医乐师百工之人」,然而在这篇文章中,Kasparov却体现出了超过一般知识分子的修养和眼界。

顺便一提,认为艺术领域将成为人类抵御AI「入侵」的最后阵地,这种想法可能既误解了人和AI的关系,也低估了AI的「创造力」。据新加坡《联合早报》讯,日本科研人员已研发出了会写小说的AI. 而就在前不久,Google通过展出AI创作的美术品(风格颇接近M.C.Escher)成功筹措到了84000美元以支持艺术。
AI与人类共生的时代或许真的快要到来了。

在本文的最后,让我们欣赏一首由AI模仿J.S.Bach风格创作的赋格曲。


  1. 项武义曾在这个问题上闹过一个大乌龙。这不在我们想讨论的范围内。 
  2. 一个经常被提及的冷笑话:Perverse sheaf is neither perverse nor a sheaf. 
  3. 中文术语「层」当从日语转译而来。吴文俊曾经批评过这个翻译:无论是法语原文Faisceau还是英语sheaf,都应该译成「束」才对。 

6 thoughts on “月旦 II

    • 没有认真念过。不过既然在同一篇post里提到了表示论,BWB和D模,或许这本书也应该提一提。

      P.S. 如果我没有看错域名的话(sevenkplus),冒昧一问,顾同学对D模之类的数学也感兴趣?

    • 看大纲走的似乎是Deligne他们的路数,可以参考Gelfand, Manin. 有一点范畴论和同调代数的底子,下面的就容易了。

  1. I read Borel-Weil and Borel-Weil-Bott recently. I do not care two much about the proofs because at this moment I know too little to understand them. I plan to read “Weil Conjectures, Perverse sheaves and l’adic Fourier transform” (Springer-Verlag) by Reinhardt Kiehl and Rainer Weissauer. As you may know this book follows Deligne’s Weil I.

    About the translation of maths terms into Chinese, I do not like what we are using currently for many terms, such as ”trivial”, ”lemma”. The term ”bundle” is translated as 束, which is good. To translate ”sheaf” as 層 I think nobody is content. I prefer to read French directly.

    • For “bundle”, the widely-accepted term is actually 丛,which is appropriate, in my viewpoint.
      Deligne is profound yet lucid. Without doubt, the greatest living mathematician after Grothendieck’s death.

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