律学补记


一、

J.S.Bach的Das Wohltemperierte Klavier,BWV 846–8931是西方古典音乐史上最重要的作品之一。Bülow曾称誉其为钢琴音乐文献中的「旧约」2
身为Bach迷,这套曲子自然是我挚爱的一部作品。Glenn Gould充满个性的现代演绎或许是最著名的版本,不过这里我想向大家推荐Wanda Landowska用大键琴演奏的版本。这是更为「本真」 (anthentic) 的演绎——虽然在古乐热消退的今天,这个词已不常作为褒义词使用了。

Book I:

Book II:

二、

上述讨论仅作引玉之用,今天的主角并非Bach,而是律学,尤其是平均律与数学的关系。对此,鲜于中之学长的《律学小记》作了一个很精练的概述,是阅读本文的prerequisite。
就《小记》没有展开讨论的两个问题,我试图略加补裰,以成完璧,因而有了这篇《补记》。

三、

为何是「十二」平均律?十二平均律中,任何两个音的频率比都不是有理数,为何我们会听到和谐的旋律?《律学小记》中写到:
这其实是相互关联的两个问题。音乐的奇迹,律学的纠结,都在于此。其答案,一言以蔽之,就是如下约等式:
\displaystyle 2^{7/12} \sim \frac{3}{2}          (1)
我个人比较倾向于用以下约等式来解释这个事实:
\displaystyle \log_{2}(3)-\frac{19}{12}=0.001629\dots \sim \frac{2}{1200}         (2)
(2)是(1)的变体:以2为底取对数。这样表达的好处在于,可以直接看出「十二平均律的第八级音,2的7/12次方,与之(指自然泛音列的第二泛音)仅有2音分的差别(即五十分之一个半音)」。
此外还有一个更重要的理由。(1)将12这个数字解释为数值上的巧合,(2)却允许我们将问题理论化:q平均律能模拟纯五度当且仅当存在有理数{p}/{q}\log_2(3)「足够接近」。
这是一个典型的丢番图逼近(Diophantine approximation)问题。为此我们作连分数展开:\log_2(3)=[1;1,1,2,2,3,1,5,23,\cdots]
3阶渐进分数8/5=[1;1,1,2]\log_2(3)的差距太大,已落入人耳可辨识的范围内。
再精确一点,4阶渐进分数19/12=[1;1,1,2,2],此即十二平均律。
19/12第一类最佳有理逼近:对于q<12,没有更接近\log_2(3){p}/{q}了。下一个有此性质的有理数是46/29,然后是5阶渐进分数65/41=[1;1,1,2,2,3],再之后是……
二十九平均律或者四十一平均律模拟纯五度的精度更高,但显然太过繁琐,缺乏实用价值。但是,请想象一下这个带有科幻意味的场景吧:如果茫茫宇宙中存在某种智慧生物,其听觉分辨能力是人类的15000倍以上3,十二平均律将远不能满足它们的需求。此时一个具有巴赫级别想象力的大脑可以用六百六十五平均律写出多少极尽微妙之能事的曲子啊!4

四、

《律学小记》中提到,世界上第一个提出十二平均律的人是明朝王室后裔朱载堉(1584年)。「凡是中国人发明的都要大肆宣扬」,对缺乏民族主义情结且囿于「温良恭俭让」的君子来说,这话颇不便宣之于口,更不用说践行了5。我倒没有这个顾忌,不妨多说两句。
首先是一份关于朱载堉首创十二平均律的资料,来自中文维基百科。
在应用中,十二平均律要求我们计算\sqrt[12]{2}=[1;16,1,4,2,7,1,1,2,2,7,\cdots]。这又是一个丢番图逼近问题。
部分历史学家相信,利玛窦在通信中将朱载堉计算出的1.059463告知Pere Marin Mersenne6,遂致使十二平均律的知识西传。这终归是猜测,并没有实据。在此之前,伽利略的父亲Vincenzo Galilei算得2阶渐进分数18/17=[1;16,1]. 要得到1.059463,则至少要算到4阶渐进分数。中文维基百科称朱载堉算得25位小数,但没有用分数形式写出他算得的「新法密率」,故无从考究其是否为\sqrt[12]{2}的渐进分数7。有心人不妨去查阅第一手文献。
计算渐进分数本是中国人的拿手好戏。祖冲之的「密率」355/113=[3;7,15,1],正是\pi的3阶渐进分数。

明室多有爱好音乐者。朱元璋的第十七子朱权 (1378-1448)8,史称宁献王,编撰了明代第一琴谱《神奇秘谱》。也正是在明代,欧洲进入了文艺复兴时期,利玛窦带来了大量西方乐器,并撰写了《西琴曲意》。朱载堉首创十二平均律,而巴赫创作Das Wohltemperierte Klavier时,中国早已时移世易,到了雍正乾隆年间了。
中西「古典」音乐的命运分歧,或许就从明朝开始。另一方面,尽管有祖冲之、朱载堉的早期实践,最终建立连分数和最佳有理逼近理论的,毕竟也还是西洋人。

2017年5月11日,补记之补记:

一位专攻早期Baroque音乐的朋友提供了他的专业意见:
(1) 从音乐演绎的角度看,他认为纯律 (just intonation)是最佳选择——当然,转一次调要reintonate一次。「十二平均律就是十二个半音都跑调」,完美的大三度才是值得追求的。换成数学语言:和谐(harmony)栖身于无理性,就不该搞什么有理逼近。
(2) 「平均律」是对Das Wohltemperierte Klavier的误译,这套曲子和演绎时所用的律制没有必然关联。用平均律当然更便于转调(这是采用「平均律」这个译名的主要原因),不过,没有证据表明J.S.Bach要求48支曲子一定要一气弹完,单支曲子完全可以在调好的琴上用纯律弹出更完美的效果。

我原本只是想借平均律这个话题来聊聊数学史上的有理逼近问题,抛砖引玉,倒是由此对音乐史多了一些认识。


  1. 通常翻译成「平均律键盘曲集」。对这个译名的讨论可参见文末「补记之补记」的部分。 
  2. 相对的,Beethoven的钢琴奏鸣曲集则被誉为「新约」。 
  3. 这不太可能,除非有某种极端环境使得此种机能在进化上是经济的。对此作细致的想象是科幻小说家的事了,我愿意贡献出这个点子,供有兴趣的人作素材。 
  4. 这里仅仅讨论了纯五度的最佳有理逼近,完全忽略了大三度的和谐性问题(即\log_2(5)的有理逼近)。数学上自然也有高维有理逼近的理论可以处理这个问题,方法和一维的情形本质相同。或者更实际一点,直接在纯五度的「最佳有理逼近」当中挑选大三度的「较佳有理逼近」,即可用平均律来模拟纯律。鉴于我们不是真的要为外星人设计律制,这里就不展开讨论了。 
  5. 相印成趣的是,俄国科学家经常做这种事,并不会觉得不好意思。 
  6. 即提出Mersenne素数的那位Mersenne. 他和多位顶尖数学家保持通信,是当时欧洲数学界的信息流动中枢。 
  7. 另一个原因是我手头没有精度达到25位小数的计算器! 
  8. 「八大山人」朱耷是他的九世孙。 
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