Spectra of Modular Surfaces II


上篇:Spectra of Modular Surfaces I

考虑紧致无边Riemann流形M上的自由粒子运动,
(经典模型)作为等能面的单位切丛S(M)\to M,以及作为Hamilton流的测地流\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)
负曲率流形上的Hamilton流是经典混沌系统的典型例子(Hopf, Moser, Sinai, etc.)。
(量子模型)视\Delta为Schrödinger算子,我们得到一个量子混沌系统。
在量子混沌的领域中有大量基于数值实验的猜想有待解决,主要的技术手段是准经典分析(semi-classical analysis)。另一方面,由于\triangleHecke算子交换,算术流形上的量子混沌系统通常有强得多的代数刚性,在许多方面表现得更像是量子可积系统,因而得到了更多成果。
以下讨论将遵循soft vs. hard的二分(dichotomy):先对一般的Riemann流形(M,\triangle)做出陈述,之后承袭对模曲面(X,\triangle)的讨论,将其作为算术模型的特例加以比较。

Distribution of the Eigenvalues
定义N(\lambda)=\{j:\lambda_j\leq \lambda\},研究N(\lambda)的渐进行为是谱几何中的重要论题。
对于紧流形M^n,我们有经典的Weyl密度估计\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{V(B^n)}{(2\pi)^n}V(M,g)\lambda \to \inftyX的算术性在一定程度上“补偿”了非紧性,这使得Selberg能够利用Selberg迹公式证明同样类型的密度估计\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{1}{4\pi}V(X)\lambda \to \infty
另一个常见的考察对象是相邻特征值间距的分布。对于量子混沌系统,通常我们期望其相邻特征值的间距分布得足够随机,即满足某个Gauss系综(Gaussian ensemble),但算术量子混沌系统的情况有所不同。
具体地说,对于X(1)=\Gamma(1)\backslash \Bbb H,基于数值实验,我们有
(Cartier猜想) \triangle的所有大于0的(尖点)特征值都是单重的。
V(X(1))=\pi/3,故此时(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12的期望值为1. 在此归一化下,数值实验显示\triangle的相邻特征值间距满足指数分布:
(Steil猜想)\displaystyle \frac{\#\{i\leq N:(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12 \in[\alpha,\beta]\}}{N} \to \int_\alpha^\beta e^{-x}dxN \to \infty
最后是一点题外话。“算术对象服从量子统计”,此类规律通常有大量数值证据支持,却难以从理论上加以证明。很多时候我们甚至无法像上述例子一样,找到一个将物理与数论自然结合的理论框架。以下是2个例子:关于Riemann zeta函数的Montgomery-Odlyzko猜想,以及新近提出的关于椭圆曲线的BKLPR猜想

Quamtum Ergodicity
遍历性(ergodicity)是混沌系统的本质特征之一。量子系统的高能极限对应于h\to 0的准经典近似,我们有理由期待i \to \infty时特征函数f_i趋于X上的一致分布1。我们有2种方式将这一命题精确化:
考虑概率测度\mu_\psi=|\psi|^2dgS(M)上的微局部提升(microlocal lift)\nu_\psi,已知
(SCZ量子遍历定理2)若测地流\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)是遍历的,则\forall \psi\in C_0^\infty(S(M))\displaystyle \frac{1}{N(\lambda)}\sum_{\lambda_i \leq \lambda}|\nu_{f_i}(\psi)-\bar{\psi}|^2=o(1)\lambda \to \infty
Zelditch  Quantum ergodicity of C^{*} dynamical systems
我们称\nu_{f_i}的弱极限为量子极限。由Egorov定理,它是一个\mathcal{G}_t不变的概率测度。比SCZ量子遍历定理更强的,我们有
(量子唯一遍历性猜想,QUE)\nu_{f_i}有唯一的量子极限:S(M)上的Haar测度\nu
Rudnick, Sarnak  The behavior of eigenstates of arithmetic hyperbolic manifolds
已获证明的结果全部来自算术曲面:由于在算术动力系统方面的一系列工作,包括证明了紧算术曲面上的QUE,Lindenstrauss获得2010年的Fields奖。在此基础上,Soundararajan证明了非紧算术曲面上的QUE.
Lindenstrauss  Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity
Soundararajan  Quantum Unique ergodicity for SL_2(\Bbb Z)\backslash \Bbb H
作为Maass形式理论的一部分,算术量子唯一遍历性猜想在全纯形式理论中有一个完全类似的陈述。此猜想已由Soundararajan和Holowinsky证明,相关消息可以参见AIM的专题报道
作为QUE的提出人之一,Sarnak简要总结了相关论题截止到09年9月的进展。


  1. 反之,对于可积系统,我们则期待i \to \infty时,f_i发生局域化(localization)。 
  2. SCZ指的是Shnirelman, Yves Colin de Verdière和Zelditch. 

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