On the Maslov index


Maslov指标最迷人的特征是它以不同的形式出现于现代数学的各个领域。有鉴于辛几何在统一不同数学分支中的作用,Weinstein提出了所谓的“辛哲学”,这或许可以作为其中一个例证。
从“量子数学”的角度看,可以用一句话概括Maslov指标的作用:它在不同极化模型之间扮演了相因子(phase factor)的角色。

From Manifolds to Grassmannians
给定辛空间(V^{2n},\omega),其Lagrange子空间模空间称为Lagrage Grassman流形。遵从Arnold,我们将其记为\Lambda(V)\Lambda(n)。必要时,也可以考虑作为正向极限的稳定LG流形\Lambda(\infty)
在几何中,Grassman流形几乎是“万有对象”的同义词。具体地说,以P\Lambda(n)上的重言丛(tautological bundle),我们有如下保持向量丛结构的自然映射:
(1)TN \to NP \to \Lambda(n)N是辛流形(M^{2n},\omega)的Lagrange子流形;
(2)\mathfrak{P} \to MP \to \Lambda(n)\mathfrak{P}TM的可积Lagrange子丛,又称为极化(polarization);
因而,在LG流形上定义的Maslov指数可以作为某种“万有示性类”理解。

The Ambient Space
LG流形是齐性空间\Lambda(n)=U(n)/O(n)\mathrm{dim}(\Lambda(n))=n(n+1)/2。辛群Sp(2n)可迁地作用于\Lambda(n)
从Lie代数的角度看,视\mathfrak{u}(n)斜Hermite形式斜对称形式\mathfrak{o}(n)为其实部,则LG流形在l处的切空间与斜Hermite形式的虚部,即l上的对称形式,有一个自然同构(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)) \mapsto B[\gamma(t),\dot{\gamma}(t)]\gamma:[a,b] \to \Lambda
给定l后,我们可以将\Lambda(n)分解为\Sigma_k的不交并,\Sigma_k中的l'满足\mathrm{dim}(l' \cap l)=k。连通开流形\Sigma_k的余维数为k(k+1)/2l' \in \Sigma_k处的切向量v满足B[l',v]|_{l \cap l'}=0.
l' \in \Sigma_0,则称l'l横截相交(intersect transversally)。这是微分拓扑意义上的一般位置(generic position)。奇点集\Sigma=\overline{\Sigma_1}=\cup_{k \geq 1}\Sigma_k\Lambda(n)的代数子流形,称为Maslov闭链(Maslov cycle)。
标准的同伦序列计算指出\Lambda(n)的基本群为\Bbb Z,故H_1(\Lambda(n);\Bbb Z)=H^1(\Lambda(n);\Bbb Z)=\Bbb Z\Sigma所在的同调类与l的选取无关:其Poincaré 对偶\alphaH^1(\Lambda(n);\Bbb Z)的生成元。

The Index for a Loop
(Maslov指标\mu,定义1) 对于闭曲线\gamma:[a,b] \to \Lambda\gamma(a)=\gamma(b)=l,扰动\gamma使其横截于\Sigma_1(作为Maslov闭链\Sigma的稠密子集)。定义\mu(\gamma)\gamma\Sigma_1相交数
由同伦不变性知此定义与基点l的选取无关。
Arnold  Characteristic class entering in quantization conditions
曲线闭合的假定允许我们将此定义同调化:对于\gamma:S^1 \hookrightarrow \Lambda,定义\mu(\gamma)=\alpha[f(S^1)]
Arnold提供了一个计算\mu(f)的方法:对于任意l',均存在g \in U(n)满足g(l)=l',其判别式精确到\pm 1。这在整个LG流形上定义了映射\mathrm{det}^2: \Lambda(n) \to S^1\mu(f)\mathrm{det}^2 \circ f:S^1 \to S^1卷绕数(winding number)。

The Index for a Path
Arnold仅对闭曲线\gamma定义了Maslov指标,因为他需要一般位置的论证来保证\gamma\Sigma_1横截相交。
若我们允许更一般的相交方式,则可以对任意\gamma定义Maslov指标。具体地说,称I[l,\gamma,t]=B[\gamma(t),\dot{\gamma}(t)]|_{l \cup \gamma(t)}\gamma(t)处的相交形式,B有非平凡的定义当且仅当\gamma(t) \in \Sigma。我们记I[l,\gamma,t]的号差为\sigma[l,\gamma,t]
(Maslov指标\mu,定义2) 对于\gamma:[a,b] \to \LambdaI[l,\gamma,t]保持非奇异(几何上这意味着\gamma和所有\Sigma_k横截相交), 定义
\mu(\gamma)=\frac{1}{2}\sigma[l,\gamma,a]+\frac{1}{2}\sigma[l,\gamma,b]+\sum_{a<t<b}\sigma[l,\gamma,t]
Robbin, Salamon  The Maslov index for paths

The Index for Two Paths
Arnold指出闭曲线的Maslov指标可以理解为卷绕数。熟知卷绕数有一个相对形式的版本(relative version)——2条闭曲线的环绕数(linking number)——这促使我们寻找相对Maslov指标的定义。
给定\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to \Lambda,定义相对相交形式
I[\gamma_1,\gamma_2,t]=I[\gamma_1,\gamma_2(t),t]-I[\gamma_2,\gamma_1(t),t]
其号差记为\sigma[\gamma_1,\gamma_2,t]
(Maslov指标\mu,定义3)对于\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to \LambdaI[\gamma_1,\gamma_2,t]保持非奇异, 定义
\mu(\gamma_1,\gamma_2)=\frac{1}{2}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,a]+\frac{1}{2}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,b]+\sum_{a<t<b}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,t]
定义2是\gamma_1(t) \equiv l的情况。
Cappell, Lee, Miller指出可以用以下6条公理刻画Maslov指标\mu(\gamma_1,\gamma_2)
(1)底空间VV=\Bbb R^2时满足归一化条件;
(2)底空间V:辛可加性;
(3)时间参数t:仿射不变性;
(4)道路\gamma:可加性;
(5)道路\gamma:同伦不变性;
(6)道路\gamma:辛不变性;
Cappell, Lee, Miller  On the Maslov index

The Index for a Triple of Points
对于Lagrange子流形的三元组(l_1,l_2,l_3),定义Kashiwara指标1\tau(l_1,l_2,l_3)为实二次型Q(x_1,x_2,x_3)=\omega(x_1,x_2)+\omega(x_2,x_3)+\omega(x_3,x_1)的号差。这个定义属于柏原正树(Masaki Kashiwara)。
Lion, Vergne  The Weil representation, Maslov index and Theta series
\tau是辛不变的,我们可以认为这个整值函数是\Lambda(V)上2维单形的“有向面积”(2-上闭链),它决定了2维单形的辛等价类。
通过单形分解,我们可以对任意2维单纯复形定义Kashiwara指标。
考虑\gamma_i:[a,b] \to \Lambdai=1,2,3h_{jk}(t)\gamma_j(t) \cap \gamma_k(t)的维数。\tau\mu有一个形如Newton-Leibniz公式的关系:
\tau(\gamma_1(b),\gamma_2(b),\gamma_3(b))-\tau(\gamma_1(a),\gamma_2(a),\gamma_3(a))=2[\mu(\gamma_1,\gamma_2)+\mu(\gamma_2,\gamma_3)+\mu(\gamma_3,\gamma_1)]+\sum[h_{jk}(b)-h_{jk}(a)]

Indices on the Total Spaces
给定纤维丛E \to \Lambda,上面讨论过的所有指标均在E上有自然的定义:投影映射的“拉回”。E的常见例子包括万有覆叠\tilde{\Lambda}和辛群Sp(2n)

Other facets
A.Ranicki建立了一个关于Maslov指标的主题站,搜罗了大量有价值的原始资料。
下面是一张(并不完备的)清单。

(1) 在研究WKB近似时,Maslov考虑了相空间V的Lagrange子流形M到构型空间p=0的投影问题。为了研究投影的奇点集,他取M中横截奇点集的曲线,并定义其与奇点集的相交数为Maslov指标。在他之前,Keller在研究Bohr-Sommerfeld量子条件时也定义过类似的概念。

(2) Weil 表示是辛群的“典范”射影酉表示,Kashiwara指标在其中扮演着Schur乘子的角色——辛不变量籍由表示论深入到了数论的领域。

(3) Hörmander在研究Fourier算子理论时定义了Hörmander指标s(l_1,l_3;l_2,l_4)。可以证明Hörmander指标恰为4边形(l_1,l_2,l_3,l_4)的Kashiwara指标的一半。
Hörmander  Fourier Integral Operators I

(4) 在经典力学/几何光学中,Hamilton-Jacobi力学和Lagrange力学是一体两面的存在,因而辛几何和Riemann几何中的变分问题也有着天然的联系。Duistermaat试图将Maslov指标与Morse指标联系起来,因而考虑了Morse指标在Legendre变换下的对应概念:Duistermaat指标。Duistermaat指标不满足道路可加性,其补正项恰恰是Hörmander指标s(l_1,l_3;l_2,l_4)
Duistermaat  On the Morse index in variational calculus

(5)我们转向拓扑。将可定向流形L^{4k}沿闭流形M^{4k-1}切成2片,Novikov证明了号差的可加性:\sigma(L)=\sigma(L_1)+\sigma(L_2)。当\partial M非空时,Wall指出上述公式需要一项补正:\partial M作为3个流形边缘的嵌入映射给出辛空间H_{2k-1}(N;\Bbb R)的3个Lagrange子空间,补正项是它们的Kashiwara指标。
Wall  Non-additivity of the signature

(6)对于(5)中的现象,我们有另一种理解方式。Atiyah, Patodi和Singer试图将Hirzebruch号差定理推广到带边的紧4k维流形,在此过程中他们发现补正项是边缘上某个Dirac算子的“指标”(对无穷和取zeta函数正则化)。这个补正项在数学上称为eta不变量,对应物理中的谱不对称性(spectral asymmetry)。
Atiyah, Patodi, Singer  Spectral asymmetry and Riemannian Geometry. I
就我们的目的而言,重要的是如下事实:给定2组Lagrange子空间,我们可以定义某个Dirac算子D。相对Maslov指标是D\epsilon-谱流(spectral flow),从而可以由D的eta不变量表出,详见Cappell, Lee, Miller。用这一事实重新证明(5)将是有趣的。

(7)Floer同调论在某种意义上是(4)(6)的综合。Maslov指标以Conley-Zehnder指标的形式出现在某些Cauchy-Riemann型算子的谱流计算中。


  1. 最早提出这个概念的人可能是Jean Leray:
    Leray  Lagrangian Analysis and Quantum Mechanics 

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