Abel-Jacobi理论:从古典到现代


以Hodge定理为中心,我们有一系列更深入的结果和许多重要的应用,统称为Hodge理论。同样的,我们以Abel-Jacobi理论统称围绕在Abel-Jacobi定理周围的系列结果。事实上两者紧密相关:这基本上是Griffiths学派围绕Schottky问题所做的工作。

我们希望从多个方面理解Abel-Jacobi理论:从古典的代数函数积分到摩登的Picard簇(Picard概型)。

Integrals of algebraic functions

给定没有重根的3次(或4次)多项式p,Legendre集中研究了形如\int \frac{dx}{\sqrt{p(x)}}椭圆积分。更一般地,给定没有重根的多项式p,Abel考虑了Abel积分I=\int R(x,\sqrt{p(x)})dxR是任意有理函数。讨论Abel积分的复代数几何框架是由Riemann奠定的。

具体地说,定义C=\{(x,y)\in \Bbb CP^2:y^2=p(x)\}。投影(x,y) \to x给出代数曲线C\Bbb CP^1的双叶覆叠。视C为紧Riemann面,Riemann-Hurwitz公式定出C的亏格g=\lceil\mathrm{deg}\,p/2-1\rceil整格L=H_i(\Bbb Z)=\Bbb Z^{2g}L^{\wedge}被Riemann称为周期。

I是有理1形式\omega在代数曲线C上的线积分。进一步假定\omega没有极点(古典意义下的第一类Abel积分),由GAGA这等价于考虑紧Riemann面上的全纯形式。Abel发现任意g+1个第一类Abel积分均线性相关,用现代的记号,H^0(\Omega^1)=\Bbb C^g

Jacobian varieties

给定x_0 \in C,以\gamma_x记从x_0x的曲线。H^0(\Omega^1)在闭曲线\gamma_{x_0}上的积分取决于\gamma的同调类,换言之,在复环面J(C)=H^0(\Omega^1)/L^\wedge=\Bbb C^g/\Bbb Z^{2g}上取值。一般地,H^0(\Omega^1)\gamma_{x}上的积分定义了Abel-Jacobi映射j:C\to J(C)x_0的不同选取给出J(C)的不同主极化

紧复交换Lie群J(C)事实上是代数群:H^0(\Omega^1)上有自然的半正定Hermitian内积h,而H_i(\Bbb Z)上的相交形式\omega满足Riemann双线型关系\omega=\mathrm{Im}\, h。由Kodaira嵌入定理J(C)可以嵌入某个复射影空间成为代数簇,称为复代数曲线CJacobi簇

一般地,称紧复交换代数群(复代数环面)为Abel簇,Abel-Jacobi函子J是(标记)代数曲线范畴到(主极化)Abel簇范畴的反变函子,使得存在正则映射j:C \to J(C)j^*给出J(C)上的不变全纯1形式(J(C)的Lie代数)到C上全纯1形式的一一对应。另一个纯粹的范畴论刻画是:在(标记)代数曲线C到(主极化)Abel簇范畴的态射范畴中,Abel-Jacobi映射j:C \to J(C)投射对象

(1)J有左逆,换言之,主极化的J(C)决定C(Torelli定理)。

(2)J没有右逆。刻画所有可实现为Jacobi簇的Abel簇是一个著名的难题(Schottky问题)。唯一充分理解了的情况是1维:椭圆曲线的Jacobi簇与自身同构。

Mumford  The Michigan Lectures (1974) on curves and their Jacobians

Mumford  Abelian varieties

Theta functions

研究Abel簇的一大手段是研究簇上的有理函数。Jacobi提供了具体构造这些函数的一个经典方法:首先定义\Bbb C^g上的伪周期全纯函数(因为全纯函数不能是周期的),再取它们的商。此类函数称为\theta函数

“公式数学”的优点在于具体。例如,经典的Lefschetz嵌入定理将告诉我们比Kodaira嵌入定理更多的东西:可以用Riemann \theta函数给出嵌入的显式并决定复射影空间的维数。

除了代数几何,\theta函数还出现在数学的各个角落:从数论(\zeta函数模形式)到离散群(Heisenberg群Fuchs群),从PDE(热方程,KdV方程)到量子场论。

Mumford  Tata lectures on theta

Algebraic construction

另一种构造Jacobi簇的思路是Weil提出的,他注意到在经典的\theta函数理论中,J(C)的函数域可以由C的函数域的g次幂模去对称群的作用得到,换言之,从几何上看C对称积\Sigma^g C双有理同构于J(C)。这一构造的优点在于用到的所有工具均可以代数化,从而可以推广到一般域上。Weil正是以此证明了函数域的Riemann猜想/1维的Weil猜想

关于Weil构造以及另一种代数构造(Kollár构造)的详情,参见

Milne  Abelian varieties

函数域与代数数域的类比或许是数学中最深刻的类比,在这一框架下,Jacobi簇的对应物是理想类群。Weil的工作是数论启发代数几何的一个例子。另一个更早的例子是Galois理论的迁移:Liouville以此证明了Abel积分不能用初等函数表出,开Picard-Vessiot理论之先河。

Addition theorems

p(x)=(1-x^2)(1-k^2x^2)\displaystyle j(x)=\int_{x_0}^x \frac{dx}{\sqrt{p(x)}} \in \Bbb C/\Bbb Z^2Euler加法定理代数加法定理的模本:若j(x_3)=j(x_1)+j(x_2),则x_i(i=1,2,3)满足某个代数方程。注意到y^2=p(x)是一类特殊的椭圆曲线Cg=1dx/y是唯一的全纯微分,理论上利用Weierstrass的\mathfrak{P}函数理论可以决定所有此类代数加法定理的显式。

高亏格曲线的Jacobi簇不再同构于曲线本身,此时Abel研究了加法定理存在的抽象条件。另一位挪威数学家Selberg曾表示:”Neither with Gauss nor Riemann, nor with anybody else, have I found anything that really measures up to this.”

以现代术语陈述的结果如下:j诱导C除子群D(C)J(C)的Abel群同态,我们将此同态限制在度数为0的子群D_0(C)上。

(Abel加法定理) \displaystyle j(D)=0当且仅当D \in D_0(C)是主除子。

换言之,我们有单同态j:\mathrm{Pic}_0(C) \to J(C)\mathrm{Pic}_0(C)=D_0(C)/D_P(C)称为CPicard簇。Jacobi进一步证明此同态是满的(称为Jacobi反演定理),从而有

(Abel-Jacobi定理) j:\mathrm{Pic}_0(C) \to J(C)是群同构。

Picard varieties

相交理论中,光滑射影簇V上的k代数闭链有如下4种常用的等价分类:

(1)有理等价:Z_1 \sim_r Z_2当且仅当二者通过某条射影直线“协边”。这是最精细的等价关系。1-代数闭链(除子)的形式群模去有理等价关系(线性等价关系)定义了Picard群\mathrm{Pic}(V)。所有代数闭链的有理等价类在相交积下构成一个分次环,即射影簇的Chow环

(2)代数等价:Z_1 \sim_a Z_2当且仅当二者通过某条代数曲线“协边”。除子群模去代数等价关系定义了Néron–Severi群\mathrm{NS}(V)。它比Picard群“小”得多,是一个有限生成的离散群(Néron–Severi定理)。

(3)同调等价:Z_1 \sim_h Z_2当且仅当二者有相同的同调类。对于代数曲线上的除子,这相当于要求它们有相同的度。

(4)数值等价:Z_1 \sim_n Z_2当且仅当二者和任意(n-k)-代数闭链的交均有相同的度。

在代数几何中,一个非常重要的问题是研究这4种等价之间的差异。例如著名的标准猜想D即为:(3)和(4)一致。对于代数曲线上的除子群,(2)(3)(4)是一致的,考察对象本质上只有一个:Picard簇\mathrm{Pic}_0(C)。在高维,我们定义\mathrm{Pic}_0(V)=\mathrm{Pic}(V)/\mathrm{NS}(V),它衡量了(1)和(2)之间的差异。

从这个角度看,Abel-Jacobi定理的重要性在于描述了\mathrm{Pic}_0(C)的结构:

(Abel-Jacobi定理,II) 代数曲线的Picard簇与其Jacobi簇同构。

对于高维(标记)射影簇V,Abel-Jacobi函子的范畴论刻画给出一个(主极化)Abel簇\mathrm{Al}(V),称为VAlbanese簇。Abel簇的Albanese簇同构于其本身。一般来说,Albanese簇是Picard簇的对偶Abel簇,而我们能保证的最好结果是Abel簇和它的对偶同源(存在映满且有限核的态射)。

Kleiman  The Picard scheme

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