How to construct compact non-Kähler manifolds?


并不十分困难的经典问题(当然,是在前人示范之后!),却在2天之内碰到了2次:做oral prensentation时导师问到这个问题,紧接着在阅读一位Princeton Phd Candidate的general exam记录时注意到田刚问了他相同的问题。

问题是这样的:Kähler流形同时是Riemann流形、复流形和辛流形。我们希望仔细地考察这三个包含关系,更具体地,

(Q1)是否所有可定向的偶数维(紧)Riemann流形都有相容的Kähler结构?

(Q2)是否所有(紧)复流形都有相容的Kähler结构?

(Q3)是否所有(紧)辛流形都有相容的Kähler结构?

在2维,这3个问题的答案都是肯定的,这本质上是单值化定理的推论。

在高维,Hodge理论提供了非平凡的拓扑障碍:Betti数b_{2k+1}必须是偶数。我们立即得到(Q1)的否定回答:Riemann度量的存在是没有拓扑障碍的(利用度量的凸性和单位分解,或者利用O(n)GL_n(\Bbb R)的形变收缩核并考虑结构群的约化)。

复结构和辛结构的存在均有非平凡(且理解得不太好)的拓扑障碍,因而(Q2)和(Q3)的答案并非显然。

一般来说,构造流形的方法大致有:(1)考虑各种“元件”的装配:乘积,纤维化,连通和,等等;(2)考虑特定流形的子流形,特别地,考虑特定函数或函数族的水平集或零点集;(3)考虑特定流形在群作用下的商流形。(3)允许我们控制\pi_1(选择适当的离散群作为覆叠群),从而通过Hurewicz定理控制b_1。这提供了一个构造反例的思路:(a)选择足够简单的单连通复/辛流形\tilde{M};(b)构造\mathrm{Aut}(\tilde{M})的离散子群\Gamma使得(b1)M=\tilde{M}/\Gamma是紧流形;(b2)\Gamma/[\Gamma,\Gamma](\Gamma的Abel化)的秩为奇数。

不容许Kähler结构的紧复流形的第一个例子是由Hopf(1948,在Kähler几何以及Hodge理论创立后不久)得到的:(a)选取复流形\Bbb C^2-\{0\};(b)令\gamma:(x,y) \mapsto (ax,by)0<|a|\leq |b|<1\Gamma是由\gamma生成的循环群。

记商流形为M_1。显然b_1(M_1)=1。事实上b_2(M_1)=0M_1甚至不是辛流形。

注记1 小平邦彦(1966, 1968)分类了满足如下条件的紧复曲面:(1)b_2=0;(2)\Bbb Z包含于\pi_1的中心,且\pi_1/\Bbb Z是有限群。为纪念Hopf,通常称它们为Hopf曲面。它们是Kodaira维数-\infty的非Kähler曲面(通常称为类型VII)的例子。

注记2 已知b_1为偶数也是紧复曲面容许Kähler结构的充分条件(Lamari, 1999; 独立地,Buchdahl, 1999)。特别地,所有单连通紧复曲面都容许Kähler结构。

人们一度猜想紧辛流形一定是Kähler流形,或者至少,由于紧Kähler满足强Lefschetz定理(从而是有理同伦论意义下的形式空间),人们猜想强Lefshetz定理在辛流形上的形式类比成立,换言之,所有辛流形都是Lefschetz流形

1971年Thurston找到一个反例:(a)选取带有标准辛结构的\Bbb R^4;(b)考虑由如下4个辛同胚生成的\Gamma

\gamma_1:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1,q_1,p_2+1,q_2)

\gamma_2:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1,q_1,p_2,q_2+1)

\gamma_3:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1+1,q_1,p_2,q_2)

\gamma_4:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1,q_1+1,p_2+q_2,q_2)

记商流形为M_2。易见\Gamma/[\Gamma,\Gamma]的秩为3,即b_1(M_2)=3

注记3 M_2的构造有更深刻的背景,我们拟简单地介绍之。

称微分流形为幂零流形,若存在某个幂零Lie群可迁地作用在此流形上。换言之,幂零流形是对称空间:同胚于幂零Lie群模去某个闭子群。紧幂零流形总可以实现为某个单连通幂零Lie群模去余紧的离散子群(Mal’cev)。已知除环面外(对应交换Lie群),它们都不是形式空间,更不容许Kähler结构。

Hasegawa  Minimal models of nilmanifolds

这类流形中维数最低的例子是Heisenberg流形HHeisenberg群(有微分同胚型\Bbb R^3)模去离散Heisenberg群。在Thurston对3维几何的分类中,Heisenberg流形代表了一类基本的几何:幂零几何。一方面,M_2=H \times S^1也是幂零流形。另一方面,Thurston知道所有3维幂零流形都是T^2T^1纤维化,因而M_2是辛流形并非偶然:它是辛环面上的辛环面丛!

事实上M_2恰巧也是复曲面(作为椭圆曲线在椭圆曲线上的纤维化,椭圆曲面)。更精确地,它有Kodaira维数0,属于Enriques-Kodaira分类中的一类:Kodaira曲面。就这个意义上来说,小平邦彦才是发现这个例子的第一人(文献中通常称M_2为Kodaira-Thurston流形),可惜他没有从辛几何的角度考虑问题。

注记4 与注记2相反,存在不容许Kähler结构的单连通辛4-流形(McDuff)。显然这不可能通过思路(3)得到。McDuff采用思路(2),并本质地利用了Gromov的伪全纯曲线理论

注记5  已知任意有限展示群都可以实现为2n维辛流形(n \geq 2)的基本群(Gompf,他的构造方法是取辛流形的连通和,即思路(1))。另一方面,已知类似的结论对Kähler流形是不成立的,从而给出了更多反例。

我们以一张4维紧流形的清单来结束讨论:首先注意到(殆)辛流形一定是殆复流形(U(n)Sp_{2n}(\Bbb R)的形变收缩核)。

(1)S^4不是殆复流形。

(2)\Bbb CP^2\#\Bbb CP^2\#\Bbb CP^2是殆复流形,但不是辛流形(Taubes),从而不是复流形(否则由注记2它必须是Kähler流形)。

(3)Hopf曲面M_1是复流形,但不是辛流形。

(4)环面上的环面丛是辛流形,但通常不是复流形,绝不可能是Kähler流形(作为幂零流形)。

(5)Kodaira-Thurston流形M_2是(4)中的特例:它是复流形。

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