Riemann和乐群,对称空间和Berger分类


Riemann和乐群的概念由来已久。E.Cartan和陈省身曾对这个概念在Riemann几何中的作用抱有很高期望。关于相关的历史,我们推荐伍鸿熙在《黎曼几何选讲》中的介绍。

这个方向的研究在Berger证明了他的Riemann和乐群分类定理后陷入沉寂:可能的特殊和乐群过于稀少,几乎不能用于Riemann流形的区分。但在Riemann几何和复几何趋于成熟后,对特殊和乐群的兴趣在70年代末又重新抬头。例如,Calabi猜想的证明允许我们批量构造有特殊和乐SU_mSp_m的紧流形。另一个直接的推动来自超弦理论:超对称的存在要求理论的背景流形有特殊和乐群,这使得特殊和乐群一跃而进入现代数学物理的核心。

讨论和乐群的经典是Besse的Einstein Manifolds (Besse是以Berger为首的一群法国几何学家模仿Bourbaki的成例而取的笔名,因而这本书可以视为Berger的夫子自道)。Joyce的Compact manifolds with special holonomyRiemannian holonomy groups and calibrated geometry是2本值得参考的现代著作。

以下讨论中将反复出现如下模式:(1)定义某个概念的整体版本;(2)定义此概念的局部版本(并给出张量刻画);(3)研究“整体=局部”的障碍(大多是基本群)。为此我们做如下准备:

流形M上的所有连通开集\{U_i\}及它们间的包含态射\psi_{ij}构成范畴\mathrm{Op}。考虑\mathrm{Op}到某范畴的反变函子FF(U_i)间定义有自然的限制态射。F(M)称为整体对象。考虑x \in M和包含x的所有开集U_IF(U_I)的逆向极限F_x称为x处的点态对象。若对于充分小的U_IF(U_I)已保持稳定,则称这个稳定对象为x附近的局部对象。局部对象未必存在,但存在时必定等于点态对象。

Holonomy

假定Lie群G是紧致的,给定带有联络\nablaG向量丛E \to M,我们定义\mathrm{Op}G的子Lie群的函子\mathrm{Hol}如下:以x \in U_i为基点的分段光滑闭曲线\gamma \subset U_i通过平行移动诱导g_\gamma \in G,这给出群同态\rho:\Omega(U_i,x) \to G,其同态像称为(以x为基点的)和乐群\mathrm{Hol}_x(\nabla,U_i)。作为抽象群,和乐群不依赖于基点的选取,故\mathrm{Hol}(\nabla,U_i)定义良好(且是G的子Lie群)。\mathrm{Hol}(\nabla)=\mathrm{Hol}(\nabla,M)称为整体和乐群。

前述意义下的局部和乐群通常不存在,但有性质良好的替代品:定义限制和乐群\mathrm{Hol}^0(\nabla)\rho(\Omega^0(M,x))(同样不依赖于基点的选取)。可以证明若点态和乐群\mathrm{Hol}(\nabla,x)的维数在局部为常数,则在同一局部有\mathrm{Hol}(\nabla,x)=\mathrm{Hol}^0(\nabla)

整体上,我们有映满的单值表示\pi_1(M) \to \mathrm{Hol}(\nabla)/\mathrm{Hol}^0(\nabla)。对这个表示的理解还很不充分,当前只能先研究流形的限制和乐群\mathrm{Hol}^0(\nabla),或等价地,(作为万有覆叠的)单连通流形的整体和乐群(由于\mathrm{Hol}^0(\nabla)=\mathrm{Hol}^0(\tilde{\nabla})=\mathrm{Hol}(\tilde{\nabla}))。

Riemann流形(M,g)上的Levi-Civita联络给出和乐群\mathrm{Hol}(g)。此时\mathrm{Hol}^0(g)是连通的,从而是\mathrm{Hol}(\nabla)包含幺元的连通分支且包含于SO_n

(和乐问题) 哪些SO_n的子群可实现为单连通流形的Riemann和乐群\mathrm{Hol}(g)

Represention

(U,g)可以表为(U_1,g_1) \times (U_2,g_2)U_i的维数大于0,则称Riemann度量gU上可约,此时\mathrm{Hol}(g,U)=\mathrm{Hol}(g_1,U_1)\times \mathrm{Hol}(g_2,U_2)

gx附近局部可约当且仅当\mathrm{Hol}^0(g)T_xM上的表示完全可约:T_xM=\oplus \Bbb R^{n_i},此时\mathrm{Hol}^0(g)=\prod H_iH_iSO(n_i)的连通子群且不可约地作用在\Bbb R^{n_i}上(从而是闭的)。特别地,这推出

(Borel-Lichnerowicz)\mathrm{Hol}^0(g)SO_n的闭子群。

(de Rham分解定理) 在单连通流形上,在某点附近局部可约的完备Riemann度量也是整体可约的:M=\prod M_i\mathrm{Hol}(g)=\prod \mathrm{Hol}(g_i)

因此为分类单连通流形的Riemann和乐群,我们只需考虑度量g不可约的情况。

上述表示论考虑可以进一步应用于一般张量上。事实上,和乐群的约化等价于存在更多平行张量场:度量g,殆复结构J,全纯体积形式\theta,Ricci曲率\mathrm{Ric}……

可以想见,和乐群的Lie代数应该有一个纯张量描述。

(Ambrose-Singer)和乐代数\mathfrak{h}_x \subset \mathfrak{so}_n由形如\mathrm{Ad}_{\rho(\gamma)}R(\rho(\gamma)X,\rho(\gamma)Y)的元素生成,其中\gamma是从x出发的任意分段光滑曲线,X,Y \in TM_xR为曲率形式。

另一个紧密相关的论题是特殊和乐群与平行旋量场的关系(也是特殊和乐群出现在超弦理论中的原因)。我们希望另文讨论这个问题。

Symmetry spaces

讨论对称空间的最权威著作无疑是

Helgason  Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces

给定(U,g),若对x \in U恒存在等距自同构s_x: U \to U满足s_x^2=Ixs_x的离散不动点,则称Riemann度量gU上对称。整体对称的Riemann流形(M,g)称为对称空间。局部对称度量和局部对称空间有简单的张量刻画:

(Cartan–Ambrose–Hicks) gx附近局部对称当且仅当在x附近\nabla R=0

(Cartan)在单连通流形上,在某点附近局部对称的完备Riemann度量也是整体对称的。换言之,局部对称空间一定局部等距同构于某单连通对称空间。

E.Cartan完全搞清了对称空间M的结构:令G为形如s_x \circ s_y的等距自同构生成的等距群(由Myers-Steenrod定理G是有限维连通Lie群),则G可迁地作用在M上,M等距同构于齐次空间G/HH迷向群。反之,给定实半单Lie代数\mathfrak g,考虑其Cartan分解\mathfrak g=\mathfrak h \oplus \mathfrak m,则在Lie群的层面上,G/H给出对称空间M,Cartan对合给出M的等距自同构。基于他对实半单Lie代数的分类,上述观察使得Cartan能分类所有对称空间。特别地,\mathrm{Hol}^0(g)=H,由此也分类了所有对称空间的和乐群。

对称空间有许多重要的性质,我们仅提到如下2个和当前讨论密切相关的:

(1)对称空间是Ricci平坦的当且仅当它是平坦的。特别地,若特殊和乐群迫使流形Ricci平坦(例如SU_mSp_m),则它们无法实现为对称空间的和乐群。

(2)定义对称空间(M,g)的秩为其极大全测地平坦子流形的维数/\mathfrak m的极大交换子代数的维数。对于局部对称的且局部不可约的g\mathrm{Hol}_x^0(g)可迁地作用在单位球S^{n-1} \subset TM_x上当且仅当M的秩为1。

Berger-Simons classification

以下假定Riemann度量g局部不可约且局部不对称,我们希望研究\mathrm{Hol}^0(g)

(Berger思路) 曲率形式R必须满足(代数)Bianchi恒等式,从而通过Ambrose-Singer定理限制了可能的和乐代数。通过逐项考察Cartan的单Lie群分类表,Berger发现绝大多数情况下这一限制强到迫使\nabla R=0,余下的单Lie群仅有8类,构成所谓的Berger名单。

(Simons思路) Simons注意到Berger名单加上Sp_n SO_1给出所有在单位球上有可迁作用的连通紧Lie群(Borel; Montgomery-Samuelson),由此提出Berger分类的如下形式:对于局部不可约且局部不对称的g\mathrm{Hol}^0(g)在单位球上的作用是可迁的。

(Berger-Simons分类)\mathrm{Hol}^0(g)仅有如下7种可能:SO_nU_m(n=2m),SU_m(n=2mm \geq 2),Sp_m(n=4m),Sp_m\cdot Sp_1(n=4m),Spin_7(n=8)和G_2(n=7)。

实际上Berger名单上还包括Spin_9(n=16)。但后来更精细的考量说明此时g必定是局部对称的(Alekseevskii; Brown-Gray)。

上述7类Lie群中仅有SO_nU_mSp_m\cdot Sp_1可以实现为对称空间的和乐群 (简单的例子是S^n\Bbb CP^m\Bbb HP^m)。另一方面,Berger和Simons并未证明上述7类Lie群均能实现为局部不可约且局部不对称的度量的限制和乐群。相关构造直到90年代中期才得到较好的理解,从而完全解决了和乐问题:

(1)SO_n:此类Riemann流形是“典型”的。它们包含了(几乎)所有奇数维流形。

(2)\mathrm{Hol}^0(M)\subset U_m的流形M^n容许满足平行殆复结构J,故为Kähler流形。特别地,U_1=SO_2显示所有可定向紧曲面都容许Kähler度量。

对Kähler几何的理解已较为深入。已知“非典型”Kähler流形满足c_1(M)=0,其余Kähler流形都是“典型”的,这包含了大量的例子。

(3)\mathrm{Hol}^0(M)\subset SU_m的Kähler流形M^n称为Calabi-Yau流形。上述和乐群约化等价于(1)M有全纯的体积形式\theta;(2)\tilde{M}有平凡的典范线丛;(3)M上存在Ricci平坦的Kähler度量;(4)c_1(M)=0(后两者在紧流形上的等价性依赖于Calabi猜想)。

m \geq 3时,表示的不可约性推出h^{2,0}=h^{0,2}=0,从而由Kodaira嵌入定理,“典型”的紧CY流形M是代数流形。由Calabi猜想,此时只需构造第一Chern类消没的代数簇,这并不困难。

(4)\mathrm{Hol}^0(M)\subset Sp_m的CY流形M^n称为超Kähler流形,它们有Ricci平坦的Kähler度量。特别地,Sp_1=SU_2显示所有紧CY曲面(复环面K3曲面)都容许超Kähler度量。

给定3个典范复结构J_i(i=1,2,3),它们将生成\Bbb CP^1个复结构,每个都对应一个相容的Kähler度量,这是超Kähler流形得名的缘由。令Z=M \times \Bbb CP^1Z上有自然的可积殆复结构,从而是复流形,称为M扭子空间

Calabi最先构造出高维的非紧“典型”超Kähler流形。紧致的“典型”超Kähler流形的构造通常要依赖于Calabi猜想(Fujiki, Beauville, etc.)。

(5)\mathrm{Hol}^0(M)\subset Sp_m\cdot Sp_1的流形M^n称为四元Kähler流形。它们通常不是Kähler流形,但在m \geq 2时一定是Einstein流形(Berger)。特别地,Sp_1Sp_1=SO_4解释了4维Yang-Mills理论的存在。

关于四元Kähler流形的扭子空间的结构,参见

Salamon  Quaternionic Kähler manifolds

非局部对称的非紧致“典型”四元Kähler流形的例子由Alekseevskii, Galicki, Lawson等人给出。一个开问题是构造非局部对称的紧致Riemann流形,使其同时具有正标量曲率及和乐群\mathrm{Hol}^0(M)=Sp_m\cdot Sp_1

(6)\mathrm{Hol}^0(M)Spin_7G_2的流形M^n都是Ricci平坦的(Bonan)。此类非紧流形的存在性是由Bryant和Salamon建立的,紧致例子的构造则是Joyce的工作,参见他的专著Compact manifolds with special holonomy.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s