Calabi猜想,Calabi-Yau流形和Kähler-Einstein度量


Calabi以一系列关于高维Kähler流形何时容许Kähler-Einstein度量的猜想闻名。此类问题最早可以追溯到单值化定理:任意Riemann面均容许唯一的KE度量。在近代,这是几何分析方法大展拳脚的领域。

几天前Donaldson团队(陈秀雄,S.Donaldson,孙崧)宣布他们解决了这一方向上的最后一个经典问题(几乎同时,田刚在Lawson 70寿辰的会议上宣布了同样的结果——感谢K君告知)。

以此为契机,我们希望回顾和总结已知的结果。

Calabi conjectures

弦论的基本假设是存在高维的“真实时空”(例如,Kähler流形)作为4维时空(Lorentz流形)上的纤维丛,这使得研究Kähler度量(弦论)和相应Ricci曲率(广义相对论)的关系成为有趣的课题。

给定紧Kähler流形(M,J,g,\omega),定义Ricci形式\rho(x,y)=\mathrm{Ric}(Jx,y)。熟知作为闭(1,1)形式,[\rho]=2\pi c_1(M)。反过来,我们有著名的

(Calabi猜想)若闭(1,1)形式\rho'满足[\rho']=2\pi c_1(M),则M上存在唯一的Kähler度量g'满足[\omega']=[\omega]且以\rho'作为Ricci形式。

Kähler-Einstein度量对应真空Einstein场方程的解:\mathrm{Ric}=kg(或\rho=k\omega)。宇宙常数消没(k=0)的情况是最基本的,此时Calabi猜想推出

(KE度量的Calabi猜想 Ⅰ)c_1=0M容许Ricci平坦的Kähler度量。

Ricci平坦的紧Kähler流形即Calabi-Yau流形。KE度量的Calabi猜想 Ⅰ使得大量构造CY流形成为可能:事实上除了部分复环面K3曲面,典型的CY流形都来自c_1=0的代数流形。

CY流形有许多重要的应用。例如,单连通CY流形允许和乐群约化U(n) \to SU(n),这使得3维CY流形成为超弦理论的基本模型:特殊和乐群SU(3)是超对称存在的必要条件。

Candelas, Horowitz, Strominger, Witten  Vacuum configurations for superstrings

关于CY流形的几何,最完备的网络资料应当是丘成桐本人在Scholarpedia上撰写的条目Calabi-Yau manifold.

一般的,我们希望给出M容许KE度量的判据。不妨假设k=\pm1g的正定性推出相应的第一Chern类必须是正/负的。由Kodaira嵌入定理,此时紧Kähler流形M典范线丛K/反典范线丛K^*是丰富的,从而是代数流形。前一类代数流形有极大的Kodaira维数,因而属于一般型,后一类非典型代数流形则称为Fano流形

(KE度量的Calabi猜想 Ⅱ)c_1<0M容许唯一的KE度量g'使得k=-1

由此可以证明对c_1<0的代数流形M^n,其Chern数满足

(Bogomolov–Miyaoka–Yau不等式) (2n+2)(-c_1)^{n-2}c_2 \geq n(-c_1)^n

Yau  Calabi’s conjecture and some new results in algebraic geometry

我们将会看到,c_1>0的情况要复杂得多:一般来说,无法保证KE度量的存在性和唯一性。

最后是关于一般Einstein流形的评论。除了4维的Hitchin-Thorpe不等式,尚不知道Einstein度量对Riemann流形的其他拓扑限制。除了考虑齐性空间和利用Calabi猜想的解,也不存在一般性地构造Einstein度量的方法。

The work of Yau and Aubin

我们记Kähler形式的扰动为\omega'=\omega+\frac{1}{2}dd^c\phi(或等价地,Kähler度量的扰动h'_{\alpha\bar\beta}=h_{\alpha\bar\beta}+\partial_\alpha\partial_{\bar\beta}\phi)。后者带来体积形式的扰动(\omega')^n=D(\phi)\omega^n(或等价地,D(\phi)=\mathrm{det}(h_{\alpha\bar\beta}+\partial_\alpha\partial_{\bar\beta}\phi)/\mathrm{det}(h_{\alpha\bar\beta}))。整体上,体积不变给出规范化条件\int_M D dV_g=\mathrm{Vol}(M)

若令\frac{1}{2}dd^c f=\rho-\rho',则局部上f必须满足dd^c(f-\log D)=0。我们记D=Ce^f,常数C由规范化条件唯一确定。

(Calabi猜想,PDE版本)给定紧Kähler流形M上的光滑函数fD(\phi)=Ce^f在相差常数意义下有唯一的光滑解\phi

若令\frac{1}{2}dd^c f=\rho-k\omega,则局部上f必须满足dd^c(f-\log D-k\phi)=0

(KE度量的Calabi猜想 Ⅱ,PDE版本)给定c_1<0的紧Kähler流形M上的光滑函数fD(\phi)=e^{f+\phi}在相差常数意义下有唯一的光滑解\phi

形如D(\phi)=\exp[F(\phi,x)]F:I \times M \to \mathbb R的二阶非线性椭圆方程称为复Monge–Ampère方程。解的光滑性依赖于标准的椭圆算子理论。Calabi本人在\partial_t F \geq 0的假设下证明了解的唯一性,并注意到k=1(\partial_t F=-1)可能导致唯一性失效。

丘成桐获得Fields奖章的主要工作之一对上述2个复Monge–Ampère方程证明了解的存在性。他采用的是求解非线性PDE的标准方法:连续性方法

Yau  On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I

独立于丘成桐,Aubin也得到了KE度量的Calabi猜想 Ⅰ的证明,他的变分方法较丘的连续性方法繁琐。在下面这部专著里,Aubin用改进了的连续性方法讨论复Monge-Ampère方程:

Aubin  Some nonlinear problems in Riemannian geometry

具体地说,定义f的形变族tft \in [0,1]t=0时方程可解。事实上使方程有解的参数t构成集合T=[0,1]:通常T是相对开集可以通过特定Banach空间上的反函数定理得到(\partial_t F=-1再次带来困难:无法保证线性化后的算子可逆),T是相对闭集则依赖于对解的先验估计,以保证解在形变下不发生破裂。找到足够强的先验估计绝非易事,这是丘成桐最主要的贡献。

上述存在性证明并未给出紧Kähler流形上KE度量的具体构造方法。此外,进一步考虑开Kähler流形上的KE度量也是重要的。几何分析学派在这些问题上都取得了重要进展,但还有许多一般性的工作有待完成。

The positive case

在丘成桐和Aubin的工作之后,寻找Fano流形容许KE度量的充分必要条件一直是研究的热点。方法论方面,几何分析的考虑仍是最主要的(C_0估计,L^2估计,等等)。另一方面,几何不变量理论提供了2条最重要的线索:

(1)考虑M的自同构群H。唯一性方面,Bando和Mabuchi修补了Calabi的否定性结果:KE度量如果存在,则在模去H_0作用的意义下是唯一的。

存在性方面,以\mathfrak{h}H的Lie代数,Matsushima证明了M容许KE度量要求\mathfrak{h}约化。特别地,\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P^2}(k=1,2)不容许KE度量。

仍令\frac{1}{2}dd^c f=\rho-k\omega,定义Futaki不变量F:\mathfrak h \to \mathbb CX \mapsto \int_M X(f)\omega^n。Futaki证明了M容许KE度量要求F消没。综合上述考量,我们有

(KE度量的Calabi猜想 Ⅲ)H离散(等价地,不容许全纯向量场)的Fano流形容许唯一的KE度量g'使得k=1

Fano曲面(通常又称为Del Pezzo曲面)何时容许KE度量的问题已完全解决:由分类定理,Del Pezzo曲面双有理等价于\mathbb CP^2\mathbb CP^1 \times \mathbb CP^1\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P^2}(1\leq k \leq 8),除k=1,2外,其余曲面均容许KE度量。

Tian, Yau  Kähler-Einstein metrics on complex surfaces with c_1>0

特别地,此时Matsushima条件是容许KE度量的充分必要条件,故KE度量的Calabi猜想 Ⅲ对于复曲面成立。

Tian  On Calabi’s conjecture for complex surfaces with positive first Chern class

已知在高维,KE度量的Calabi猜想 Ⅲ给出的限制是不充分的。我们还需要一类新的限制。

(2)考虑TM稳定性。Kobayashi证明了Fano流形M容许KE度量要求TM的半稳定性。紧密相关的,我们有Kobayashi-Hitchin对应:代数流形上的全纯向量丛E是稳定的当且仅当E容许不可约Hermitian-Einstein度量。

Uhlenbeck, Yau  On the existence of Hermitian-Yang-Mills connections in stable vector bundles

Donaldson  Infinite determinants, stable bundles and curvature

受此启发,丘成桐猜想Fano流形容许KE度量的充分必要条件应该由某种几何稳定性给出。

特别地,田刚证明了KE度量的存在性要求反典范线丛K^*是K稳定的,从而证否了Calabi猜想 Ⅲ:

Tian  Kähler-Einstein metrics with positive scalar curvature

另一种K稳定性的代数几何定义要求流形的所有测试配置(test configuration)的Futaki不变量非负——这是Donaldson提出的定义。2种定义的相容性参见

Li, Xu  Special test configurations and K-stability of Fano varieties

(Yau-Tian-Donaldson猜想,K稳定性猜想) K稳定的Fano流形容许KE度量。

正如本文开头所提到的,几天前Donaldson团队宣布利用Donaldson新近发展的连续性方法,他们能够证明上述悬置多年的经典问题:

Chen, Donaldson, Sun  Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, I: approximation of metrics with cone singularities

Chen, Donaldson, Sun  Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, II: limits with cone angle less than 2 \pi

Chen, Donaldson, Sun  Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, III: limits as cone angle approaches 2 \pi and completion of the main proof

同样基于Donaldson的连续性方法,田刚独立地给出了另一个证明:

Tian  K-stability and Kähler-Einstein metrics

8 thoughts on “Calabi猜想,Calabi-Yau流形和Kähler-Einstein度量

  1. K says:

    其实是田刚在26号宣布证明K稳定性猜想以后(基于田刚本人及Donaldson之前的工作),Donaldson团队才急忙宣布也证明该猜想的。目前双方都只展示了证明思路,正式论文还未出来。

    转载一位数学朋友(美国名校AP)的帖子,不知评价是否正确?:

    田刚宣布证明K稳定性猜想

    昨天在Stony Brook庆祝Lawson(美国科学院院士) 70寿辰的会议上宣布,见以下视频的56分钟。
    http://www.math.sunysb.edu/Videos/Cycles2012/video.php?f=14-Tian

    这方面我是外行,道听途说一些事情。
    Kahler流形上何时存在Kahler-Einstein度量是复几何里的核心问题。当第一陈类小于0时,此问题由Aubin和丘成桐解决。Aubin后当选法国科学院院士,这可能就是他最重要的工作。第一陈类为0时即著名的Calabi猜想,由Yau解决。Calabi猜想毫无疑问是Yau一生中最辉煌的成就,在微分几何,代数几何,理论物理中都有及其深远的影响。满足此猜想的一类流形由此被命名为Calabi-Yau流形。
    第一陈类大于0的情形则困难得多。Yau指出这一问题跟代数几何里的稳定性有关,Tian和Donaldson(Fields奖得主)等人进一步澄清了其中的一些问题,提出了K稳定性猜想,又称Yau-Tian-Donaldson猜想。(许晨阳和李迟最近的论文就是关于Tian和Donaldson工作之间的关系。)田刚从读博士时便开始研究这一猜想。他赖以成名的工作就是在二维时完全解决了此问题,并因此获得Veblen奖。Tian和Donaldson近年来在此问题上都取得了重大进展。Tian宣布的证明思路便是基于他们二人以前的工作,以及Cheeger-Colding等人在其它问题上的成果。如果田刚宣布的结果是正确的,那必然是一个Fields奖级别的工作,当然他的年龄已经得不了Fields了。

    • 我的意见大致如下:
      1.正如你所说,正式论文尚未出炉,现在讨论credit的分配还为时过早。
      2.田刚对K稳定性问题贡献极大(这个概念本身就是他引入的),没有人能够抹杀。
      3.Donaldson在这两三年间发展了新的连续性方法来处理此类问题,这是一大突破。田刚自己在演讲中也承认这一点。
      4.在解决复曲面上KE度量的存在性问题之前几年,田刚曾陷入类似的尴尬:当时萧荫堂直接去信丘成桐,抗议田刚窃取了他在Fermat超曲面上构造KE度量的想法并抢先发表。是非我无从置喙,但同一个人再次遇上此类事件,到底是田刚“急忙”还是Donaldson“急忙”,我的判断有所保留,或许也算是人情之常?

    • 我并非“内行”,没有资格评论两人的证明。以下是个人对相关问题的一点理解,如有错讹,敬请指正。

      就已知的信息看:

      1.两人对于K稳定性的定义是不同的:田的定义是分析的,而Donaldson的定义则利用了代数几何,其间的等价性,正如你在转贴中提到的,是由Li-Xu阐明的。

      2.田的证明基于Cheeger-Colding-Tian在90年代建立的分析结果,Donaldson的证明则基于几何不变量理论(经典Matsushima障碍和Futaki障碍的精细化)。

      3.技术工具方面,两人都本质地利用了Donaldson新近发展的连续性方法来处理conic KE metric以及这两年间围绕这一想法而发展出的系列工作(Li-Sun, Jeffres-Mazzeo-Rubinstein, etc.)

  2. simple says:

    田刚的整个证明已经上传,Donaldson团队也已经公布一部分,可以做出更多的评价了

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