Notes on Lie theory: Serre relations and Kac-Moody algebra


Serre relations

Cartan矩阵通过Serre关系唯一确定对应的有限维复半单Lie代数:

(输入信息) rCartan矩阵A=a_{ij},更具体地说,要求a_{ij} \in \Bbb Z满足

(1)a_{ii}=2

(2)a_{ij}\leq 0,若i \neq ja_{ij}=0当且仅当a_{ji}=0

(3)存在分解A=DB,其中D是正对角矩阵,B是正定对称矩阵(从而A在所有主子式为正的意义下“正定”);

\mathfrak g的单根系\lambda_ia_{ij}=(\lambda_i^\wedge,\lambda_j)直接推出(1)(2)。令d_{ij}=2\delta_{ij}/(\lambda_i,\lambda_j)s_{ij}=(\lambda_i,\lambda_j),即得到(3)。注意到由(1)(3)可以推出a_{ij}a_{ji}\leq 4

(Serre算法) 定义3 r个生成向量(e_i,f_i,h_i)并要求其生成的复Lie代数满足

(1)[h_i,h_j]=0[e_i,f_j]=\delta_{ij}h_i

(2)[h_i,e_j]=a_{ij}e_j[h_i,f_j]=-a_{ij}f_j

(3)\mathrm{ad}_{e_i}^{1-a_{ij}}e_j=0\mathrm{ad}_{f_i}^{1-a_{ij}}f_j=0,此处伴随表示\mathrm{ad}_xy=[x,y]

(输出信息) 阶为r的复半单Lie代数\mathfrak g(e_i,f_i,h_i)张成\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)三元组(\mathfrak g^{\lambda_i},\mathfrak g^{-\lambda_i},\mathfrak h^{\lambda_i}),Chevalley生成元e_i,f_i满足(e_i,f_i)=2/(\lambda_i,\lambda_i)

特别的,若Cartan矩阵不可分解,则对应的\mathfrak g为复单Lie代数。

最先研究单根系和Chevalley生成元间关系的是Weyl (Chevalley将生成元规范化,Jacobson进行了进一步简化)。证明上述关系是定义关系的是Serre (1966)和Kac (1968),后者由此开始了对Kac-Moody代数的研究。

Serre  Complex semisimple Lie algebras

Kac-Moody algebra

Moody第一个考虑了仅满足(1)(2)的k阶矩阵:广义Cartan矩阵。对于广义Cartan矩阵A,Serre算法给出的复Lie代数可能是无穷维的,这样的复Lie代数称为Kac-Moody代数。称(\mathfrak h,S,S^\wedge)A的实现,若单根\lambda_i \in S满足(\lambda_i^\wedge,\lambda_j)=a_{ij},且余空间\mathfrak h^{c}的秩定义良好:r-k=\dim \mathfrak h-r

以下我们讨论KM代数中最重要的一类:可对称化KM代数。这要求

(3′)存在分解A=DB,其中D是正对角矩阵,B是对称矩阵。

假定讨论的广义Cartan矩阵不可分解,我们可以进一步将可对称化KM代数分为3类:

(有限型) B是正定对称矩阵。这给出经典的有限维复单Lie代数。

(仿射型) B是半正定对称矩阵且有余秩1。这给出仿射Lie代数。仿射Lie代数的分类由仿射Dynkin图给出。和有限维复单Lie代数一样,仿射Lie代数也“稠密”分布在数学的各个领域中:奇点理论,共形场论和弦论(作为特定圈代数量子反常),统计力学(theta函数,模形式,Macdonald恒等式),有限单群,孤立子,等等。

Kac  Infinite dimensional Lie algebras

(不定型) 其它情况。其中人们最感兴趣的是所谓的双曲型KM代数,即要求B的所有真子对角矩阵是有限型或仿射型。不定型的情况极其复杂,直到2010年才完成了所有双曲型Dynkin图分类

Killing形式(在Cartan子代数上的限制)及Weyl群的概念可迁移到可对称化KM代数中:

选定余空间\mathfrak h^{c},我们将K(\lambda_i^\wedge,\lambda_j^\wedge)=b_{ij}延拓到整个\mathfrak h上:K(\mathfrak h^{c},\mathfrak h^{c})=0。这个K可以进一步延拓为KM代数\mathfrak g_A上的不变对称双线型,满足根空间分解下Killing形式的一切性质,遵照Kac,我们称其为标准不变型。

定义Weyl群W为反射s_{\lambda_i}(v)=\lambda_i-(\lambda_i^\wedge,v)\lambda_i生成的群。根系R和标准不变型K都是W-不变的。

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