Jacobi行列式猜想


Smale偏好表述简单的问题。前不久我们讨论过位于“Smale问题”候选名单上的Smale平均值问题。下面要介绍位于正选名单上的另一个跟多项式有关的猜想:Jacobi行列式猜想。目下最权威的参考材料是专著

van den Essen  Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture

以下我们以k记特征0的域。称k[x_1,\cdots,x_n]的一组生成元为一组坐标系。

\mathrm{JC}_n

考虑多项式映射F=(F_1,\cdots,F_n):\Bbb C^n \to \Bbb C^n(即要求F_i为多项式)。F可逆的必要条件是Jacobi行列式J_{F}(z)=\det(\partial F_i/\partial z_j)(z)处处非零。注意到J_F\Bbb C上的多项式,这要求J_F恒为非零常数。Keller(1939)进而提出

(Jacobi行列式猜想\mathrm{JC}_n) 若J_F恒为非零常数(J条件),则F可逆。

注意到(1)由Lefschetz原理\mathrm{JC}_n可以在任何特征0的代数闭域上陈述;(2)由Cynk, Rusek的代数几何结果,若F可逆,则F^{-1}必为多项式映射,换言之F双正则的,故\mathrm{JC}_n等价于代数\mathrm{JC}_n:若k是代数闭的,则F_i是坐标系当且仅当J_F \in k^{*}。这个猜想可以对一般的k陈述。另一方面,对于特征p的域,代数\mathrm{JC}_n有简单的反例;(3)若m \geq n,则\mathrm{JC}_m \geq \mathrm{JC}_n,故Jacobi行列式猜想等价于“稳定版”\mathrm{JC}_\infty

这个能为任何学过初等微积分的学生所理解的猜想(例如,Hartshorne Chap I 3.19(b))出乎意料得难:甚至连\mathrm{JC}_2都尚未完全解决。由Jacobi猜想可以轻易推出代数几何学中某些著名的定理,例如

(Ax-Grothendieck定理) 若F是单的,则F也是满的。

d=\mathrm{max}\{ \mathrm{deg}F_i\},已知的结果包括:

d=1时的\mathrm{JC}_\infty是简单的线性代数。Wang对d=2证明\mathrm{JC}_\infty。另一方面,利用计算机,Moh对d \leq 100验证\mathrm{JC}_2成立。

我们将F按次数分解为F_1+\cdots+F_d。已知若Jacobi猜想对3次齐次形式z+F_3成立,则一般的情形也成立(Yagzhev; Bass, Connell, Wright)。进一步的约化包括可以要求F_3为线性多项式的立方(Druzkowski),J_F对称(de Bondt, van den Essen)等等。对Druzkowski映射,已知\mathrm{JC}_7(Hubbers)乃至(大部分的)\mathrm{JC}_9成立(Yan)。

\mathrm{JC}_n有一系列推论、等价命题乃至加强命题,我们仅各举一例:

(van den Essen-Shpilrain\mathrm{ES}_{k,n})若环同态F: k[x] \to k[x]将任意坐标映为坐标,则F是同构。我们还有更强的\mathrm{LES}_{k,n}:仅要求F将线性坐标映为坐标。

\mathrm{LES}_{k,2}已得到证明(Cheng, van den Essen)。Derksen观察到若F将线性坐标映为坐标,则J_F(x)\neq 0。特别的,\mathrm{LES}_{\Bbb C,n}\mathrm{JC}_n的推论,而\mathrm{ES}_{\Bbb C,\infty}已得到证明(Jelonek),这为\mathrm{JC}_\infty积累了正面证据。

(Dixmier猜想\mathrm{DC}_n)复Weyl代数A_n的满自同态是自同构。

迄今无人能证明\mathrm{DC}_1\mathrm{DC}_n \geq \mathrm{JC}_n是经典的结果,另一方面,新近的研究表明\mathrm{JC}_{2n} \geq \mathrm{DC}_n,故\mathrm{DC}_\infty=\mathrm{JC}_\infty (TsuchimotoBelov-Kanel, Kontsevich)。

(Markus–Yamabe猜想\mathrm{MYC}_n)若C^1映射f:\Bbb R^n \to \Bbb R^n满足f(0)=0Df处处Hurwitz稳定,则坐标原点是动力系统\dot{x}=f(x)全局吸引子

Fournier和Martelli发现\mathrm{MYC}_{2n}\geq \mathrm{JC}_n。已知\mathrm{MYC}_2是正确的(Fessler; Gutierrez),但遗憾的是,\mathrm{MYC}_3有多项式反例(Cima et al.)。

\mathrm{RJC}_n

F:\Bbb C^n \to \Bbb C^n给出f:\Bbb R^{2n} \to \Bbb R^{2n}。已知实多项式映射f是单射将推出f是满射(Bailynicki-Birula, Rosenlicht),我们陈述较\mathrm{JC}_n为强的实Jacobi行列式猜想\mathrm{RJC}_n:满足J条件的实多项式映射是单射(从而是微分同胚)。

由于不知道实代数几何中是否存在类似Cynk-Rusek的结果,无法直接由\mathrm{RJC}_n推出更强的代数\mathrm{RJC}_n

\mathrm{RJC}_\infty和代数\mathrm{RJC}_\infty当然都是开问题。已知的结果大多是否定性的:

(1)代数方面,已知\mathrm{LES}_{\Bbb R,3}存在反例 (Mikhalev, Yu, Zolotykh)。结合上面提到的Derksen的观察,这说明放宽J条件为J_f(x)>0后,代数\mathrm{RJC}_3不能成立。

去年Jelonek证明了\mathrm{ES}_{\Bbb R,\infty}的假设推出J条件并证明了\mathrm{ES}_{\Bbb R,\infty}本身,从而击破了通过\mathrm{ES}_{\Bbb R,\infty}证否\mathrm{RJC}_\infty的可能。

(2)微分拓扑方面,放宽J条件的尝试同样是失败的。

(强Jacobi行列式猜想,\mathrm{SJC}_n)若C^1映射f:\Bbb R^n \to \Bbb R^n满足J_f(x)>0,则f\Bbb R^n的保向微分自同胚。

对于\mathrm{SJC}_2,Pinchuk给出了一个非单射的多项式。这说明放宽J条件为J_f(x)>0后,连较弱的\mathrm{RJC}_2都不能成立。

Remark

上述简短的讨论中涉及5位华人:Wang, Moh, Yan, Cheng, Yu.  Yu(余解台)是我的老师。在\mathrm{JC}_n的早期研究中贡献卓著的Wang(王穗生)据说在90年代受伤后淡出了学界(让人联想到Arnold),很是可惜。

P.S. For a general problem list, see here.

2 thoughts on “Jacobi行列式猜想

  1. The link to “Smale平均值问题” is broken and should be “https://zx31415.wordpress.com/2012/07/26/%E5%A4%8D%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E7%9A%84%E4%B8%B4%E7%95%8C%E7%82%B9/”.

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