Notes on Lie theory: classification of semisimple Lie algebras


紧Lie群是最简单的Lie群,在Lie对应的另一边,半单Lie代数是最简单的Lie代数。(严格)分类所有有限维复半单Lie代数是E.Cartan最伟大的数学贡献之一。

Abstract root systems

给定Euclid空间Ev \in E-\{0\},定义反射\displaystyle s_v(w)=w-\frac{2(v,w)}{(v,v)}v(若引入对偶向量v^\wedge=2v/(v,v),则s_v(w)=w-(v^\wedge,w)v)。

称有限集R \subset E-\{0\}E根系若(1)R张成E;(2)W(R) \subset RWeyl群W\{s_v|v \in R\}生成的有限群;(3)(R^\wedge,R) \in \Bbb Z

(3)又称为晶体限制\displaystyle a_{ij}=(v_i^\wedge,v_j) \in \Bbb Z。另一方面,a_{ij}a_{ji}=4\cos^2 \phi_{ij}(\phi_{ij}v_iv_j间的夹角),故\displaystyle \phi_{ij}=0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6},\pi,这相当于要求元素s_{v_1}s_{v_2}W中的阶只能为2,3,4,6.

定义R的秩为E的维数。(E,R)在正交直和下封闭,故有自然的可约/不可约概念。

可以证明R有一组基(单根系,基本根系)S使得R可以分解为\Bbb Z^{+}S\Bbb Z^{-}S的不交并(不唯一),即选定S后可以将R分解为正根R^+和负根R^-

显然W^\wedge=W(R^\wedge,S^\wedge)称为(R,S)的余根系和余单根系。

Classification of the reduced root systems

R称为约化根系若其进一步满足(4)\forall v \in Rv张成的线性空间中仅有\pm v \in R。这是复半单Lie代数分类中会遇到的一类根系。

通过研究Weyl房的结构,可以证明对于约化的RW可迁地作用在所有单根系的集合上。给定任意S\{s_v|v \in S\}足以生成W,并决定整个RR=W(S)

定义SCartan矩阵A=(a_{ij})_{v_i,v_j \in S}A包含了S的所有信息:a_{ij}/a_{ji}决定了v_iv_j的相对长度,a_{ij}a_{ji}决定了夹角\phi_{ij}

综上,为分类约化根系R,只需分类所有Cartan矩阵:

(1)分类\phi_{ij}等价于分类Weyl群。视Weyl群为特殊的Coxeter群,此分类可以用直观的方式展现出来:对S中的每一个元素赋予一个(空心)顶点,根据a_{ij}a_{ji}的值在顶点v_i,v_j间连上0,1,2,3条边,这定义了一张Coxeter图

(2)a_{ij}a_{ji}\geq 2时,可以通过在Coxeter图的边上标上箭头来区分v_iv_j的相对长度:这定义了一张Dynkin图。Dynkin图与Cartan矩阵(从而与约化根系)一一对应。

连通Dynkin图的分类(计入重复)如下:4个无穷系列A_nB_nC_n(n \geq 1),D_n(n \geq 3)以及E_{4-8}F_4G_2。这给出了所有不可约的约化根系。

任何复根系都是某个实根系的典范复化,因而上述结果也分类了所有不可约的复约化根系。

Relation to complex semisimple Lie algebras

回忆\mathfrak g为半单Lie代数时,Cartan子代数\mathfrak h\mathfrak g的极大环状子代数,其所有元素都是半单的,故\mathfrak g可以分解为\mathfrak h和一系列1维特征子空间(对应非零特征值)的直和。

更精细一点,由于\mathrm{ad}_{h_1+h_2}=[h_1+h_2, \cdot]=\mathrm{ad}_{h_1}+\mathrm{ad}_{h_2}\mathrm{ad}_{\mathfrak h}的特征值可以视为\mathfrak h上的线性泛函,由此得到根空间分解:

\displaystyle \mathfrak g=\mathfrak h\oplus \sum_{v\in R} \mathfrak g^v\mathfrak g^v=\{x|\mathrm{ad}_h x=v(h)x, \forall h \in \mathfrak h\}R \subset \mathfrak h^{*}-\{0\}

Killing形式的效应:将\mathfrak g^v\mathfrak g^{-v}非退化地配对,\mathfrak g是这些“对空间”的正交直和。记\mathfrak h^v=[\mathfrak g^v,\mathfrak g^{-v}],则\mathfrak h^v\oplus \mathfrak g^v \oplus \mathfrak g^{-v}同构于\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)。对于后者,不难证明R是约化根系,故一般地,R\mathfrak h^{*}(配有非退化的Killing形式)的约化根系。

特别的,如果选定一组正根R^+和正根空间\mathfrak n=\sum_{v\in R^+}\mathfrak g^v,则我们有三角分解\mathfrak g=\mathfrak h \oplus \mathfrak n \oplus \mathfrak n^-\mathfrak b=\mathfrak h \oplus \mathfrak n\mathfrak g的极大可解子代数,称为Borel子代数。类似于Cartan子代数,Borel子代数在共轭意义下唯一。

例  对于\mathfrak{sl}_n(\Bbb C),所有上三角矩阵构成一个Borel子代数\mathfrak b

上面给出的{复半单Lie代数\mathfrak g}\to{复约化根系R}的过程不依赖于Cartan子代数的选取。事实上这个过程是一一对应:给定R的任意Cartan矩阵,可以通过Serre关系唯一确定相应的复半单Lie代数。至此我们完成了所有复半单Lie代数的分类

Real forms

给定复半单Lie代数\mathfrak g,它的实形式\mathfrak g_0也是半单的。所有半单实形式的分类同样由Cartan完成,相应的分类图是Satake图

注意到\mathfrak g_0的Killing形式是非退化的,对角化后+1的个数i(\mathfrak g_0)称为\mathfrak g_0的指标。称\mathfrak g_0为(1)紧实形式:若i(\mathfrak g_0)=0,此时\mathfrak g_0紧Lie代数;(2)分裂实形式:若i(\mathfrak g_0)=r,此时\mathfrak g_0分裂Lie代数

Cartan的分类定理推出复半单Lie代数在同构意义下有且仅有一个紧/分裂实形式。这在Lie群理论和微分几何中均有极其重要的后果:例如,已知紧实形式可实现为某个矩阵Lie代数,通过上述定理我们可以将矩阵Lie代数的特定性质推广到一般Lie代数上。

通过分类定理推出紧实形式的存在性是不太令人满意的。在诸多其他证明中,我们推荐下面这个从第一原理出发的Riemann几何证明:

Donaldson  Lie algebras theory without algebra

典型Lie代数的全表如下(复单Lie代数,紧实形式,分裂实形式):

A_n\mathfrak{sl}_{n+1}(\Bbb C)\mathfrak{su}_{n+1}\mathfrak{sl}_{n+1}(\Bbb R)

B_n\mathfrak{s0}_{2n+1}(\Bbb C)\mathfrak{s0}_{2n+1}\mathfrak{s0}_{n,n+1}

C_n\mathfrak{sp}_{2n}(\Bbb C)\mathfrak{sp}_{n}\mathfrak{sp}_{2n}(\Bbb R)

D_n\mathfrak{so}_{2n}(\Bbb C)\mathfrak{so}_{2n}\mathfrak{so}_{n,n}

对于小整数,这些系列可能有重复,这解释了低维Lie群的例外同构现象

一个紧密相关的问题是所有实半单Lie代数的分类。这也是Cartan在对称空间方面工作的起点——一个通过极为繁复的分类讨论才达到的起点。利用Vogan图我们可以对其稍加简化,一个概览性的讨论见

Knapp  Lie groups beyond an introduction

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