Notes on Lie theory: compact Lie groups


紧Lie群是酉群的子群。这一事实是整个理论的地标。

作为局部理论,Lie对应绝对依赖于Lie群的(形式)微分结构。另一方面,Schur发现紧Lie群的表示与有限群的表示极为类似,沿着这一线索Weyl建立了以Peter-Weyl定理为中心的整体(积分)理论。一般地,局部紧拓扑群上存在Haar测度,因而有可能建立类似的分析理论。迄今我们仅对交换群(局部紧群上的调和分析)和紧Lie群 (Cartan-Weyl) 有充分的了解,此外对半单Lie群(Harish-Chandra, Gelfand, etc.)也有较好的认识。建立一般的非交换调和分析是当前的研究热点。

我们对Lie群的讨论主要基于局部理论。不过,至少对于连通紧Lie群G,我们希望完整地展示理论的2个方面:此时整体理论简单却极富威力。

From Semi-simple to Compact

如何找出半单Lie群的紧子群?在矩阵论中,极分解从复矩阵中分离出酉部分,这是最基本的模板。一般地,给定复半单Lie代数\mathfrak g和Killing形式K\mathfrak g对合同构\theta称为Cartan对合,若K(x,\theta y)是负定的。非退化Killing形式限定在\theta对应\pm 1的特征空间上时是正定/负定的,因而我们得到

(Cartan分解) \mathfrak g=\mathfrak l \oplus \mathfrak p。子代数\mathfrak l是对应-1的特征空间,有负定的Killing形式,从而是紧Lie代数。

Global Theory 

我们将利用整体理论研究紧Lie群的结构。步骤如下:1.研究紧拓扑群的表示论(Peter-Weyl定理);2.决定紧拓扑群(特别的,紧Lie群)的结构;3.决定紧Lie代数的结构。

1.我们需要之前从Laplace算子的谱分解角度讨论过的:

(Peter-Weyl) 若拓扑群G是紧致的,则(1)G的所有不可约表示\{\pi\}都是有限维的(由Weyl的酉技巧可以进一步假定这些表示都是酉的);(2)\{\pi\}分离G中的点。

2.利用此定理可以回答紧致情形下的Hilbert第5问题(von Neumann):\forall x \neq e \in G,存在某个有限维的不可约酉表示\pi_x使得x(从而x的某个邻域)不属于\pi_x^{-1}(I),因而由G的紧性,对e的邻域系V_n可以找到有限维酉表示\rho_n使得\ker(\rho_n) \subset V_n。另一方面,\mathrm{Im}(\rho_n)是酉群的闭子群,从而也是Lie群:这一讨论给出了将紧拓扑群G表为紧Lie群\mathrm{Im}(\rho_n)的逆向极限的具体构造。

注意到若G是紧Lie群,则它没有小子群,上述逆向极限事实上是有限的,从而推出:任意紧Lie群均有1-1的有限维表示(从而同构于某个U(m)的子群)。

3.过渡到Lie代数:上述事实意味着紧Lie代数\mathfrak g_0是约化的。

更精细一点,因为\mathfrak g_0实形式,故\mathfrak g_0 \subset \mathfrak{so}_{m},由此推出紧Lie代数的Killing形式是半负定的:K(x,x)=\mathrm{tr}((\mathrm{ad}\,x)^2) \leq 0。反过来,可以证明若Killing形式负定,则\mathfrak g是紧(半单)Lie代数。

Local Theory

我们将利用局部理论研究紧Lie群G的极大交换子群。步骤如下:1.研究复Lie代数\mathfrak g的特定子代数;2.研究\mathfrak g_0中的对应子代数;3.推断极大交换子群的性质。

1.称x \in \mathfrak g幂零/半单,若\mathrm{ad}\, x幂零/半单(对于复Lie代数这意味着\mathrm{ad}\, x可对角化)。一般地,记P_x(t)=\sum a_i(x)t^i\mathrm{ad}\, x的特征多项式,则a_n \equiv 1a_0 \equiv 0,使得a_r \not\equiv 0的最小正整数r称为\mathfrak g的秩。

\mathfrak g_x^\lambda\mathrm{ad}\, x对应于特征值\lambda广义特征子空间,熟知有分解\mathfrak g=\mathfrak g_x^0\oplus \sum_{\lambda \neq 0} \mathfrak g_x^\lambda[\mathfrak g_x^{\lambda_1},\mathfrak g_x^{\lambda_2}] \subset \mathfrak g_x^{\lambda_1+\lambda_2},特别的,\mathfrak g_x^0\mathfrak g的子代数。可以证明\mathfrak g_x^0是幂零的,且\mathfrak g_x^0=N_\mathfrak g(\mathfrak g_x^0),这样的幂零子代数称为\mathfrak gCartan子代数。 可以证明\mathfrak g的Cartan子代数必有上述形式且在共轭的意义下唯一(依赖于\Bbb C的代数封闭性),故\mathrm{dim}\, \mathfrak g_x^0=r

\mathfrak g是半单的,则我们有更强的:(1)Cartan子代数\mathfrak h是交换的;(2)\mathfrak h等于其中心化子,从而\mathfrak h\mathfrak g的极大交换子代数;(3)\mathfrak h中的所有元素都是半单的(满足(1)(3)的子代数称为环状子代数,Cartan子代数在环状子代数中是极大的)。

 \mathfrak{sl}_n(\Bbb C)的Cartan子代数由所有对角矩阵构成。

2.称\mathfrak h_0\mathfrak g_0的Cartan子代数,若\mathfrak h\mathfrak g的Cartan子代数。此时我们无法得到唯一的共轭等价类,但可以证明共轭等价类仍是有限的。

现假定\mathfrak g_0是约化Lie代数:\mathfrak g_0=[\mathfrak g_0,\mathfrak g_0]\oplus Z(\mathfrak g_0)。取半单Lie代数[\mathfrak g_0,\mathfrak g_0]的Cartan子代数\mathfrak t_0^{'},则t_0=t_0^{'} \oplus Z(\mathfrak g_0)\mathfrak g_0的极大交换子代数和Cartan子代数。

3.现在可以讨论我们的主结果:在Lie对应下,t_0对应约化Lie群G的极大交换子群。特别地,当G紧致时,Killing的半负定性将允许我们推断\mathfrak g_0的极大交换子代数(如同\mathfrak g那样)两两共轭,由此推出:(1)紧Lie群的极大环面两两共轭;(2)更强的,\forall x \in G均包含在某个共轭类T^r里。由于指数映射在环面上是映满的,这推出指数映射在紧Lie群上总是映满的。

在线性代数里,(2)对应熟知的:任何酉矩阵都共轭于某个对角矩阵。

上述证明属于Weyl。利用Riemann几何,Cartan给出了另一个基于不动点存在定理的证明。第三个证明(Weil)或许是最有启发性的:利用Lefschetz不动点定理可以直接对紧拓扑群证明类似结果。

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