Notes on Lie theory: structure theory of Lie algebras


我们开始研究Lie代数\mathfrak g(任意基域)的结构。

Basic definitions

我们利用Lie对应将群论概念翻译为Lie代数的语言:正规子群对应Lie代数的理想\mathfrak h,即满足[\mathfrak h,\mathfrak g] \subset \mathfrak h的子代数。常见理想包括Lie代数的中心Z(\mathfrak g)=\{x|[x,\mathfrak g]=0\}以及交换子群(第1导出子群)\mathfrak g^{(1)}=[\mathfrak g,\mathfrak g]。对于一般的子代数\mathfrak h \subset \mathfrak g,定义其正规化子N_\mathfrak g(\mathfrak h)=\{x \in \mathfrak g|[x,\mathfrak h]\subset \mathfrak h\}

Lie代数的基本种类如下:

(1)交换群对应交换Lie代数[\mathfrak g,\mathfrak g]=0。定义降中心列\mathfrak g^{n+1}=[\mathfrak g,\mathfrak g^{n}],若此列在有限项内结束,则称\mathfrak g幂零Lie代数。定义导出列\mathfrak g^{(n+1)}=[\mathfrak g^{(n)},\mathfrak g^{(n)}],若此列在有限项内结束,则称\mathfrak g可解Lie代数。交换Lie代数是幂零的,幂零Lie代数是可解的。我们定义Lie代数的根\mathrm{rad}(\mathfrak g)为所有可解理想的并,这是\mathfrak g的“极大可解部分”。

(2)称没有非平凡理想的非交换Lie代数为单Lie代数。若\mathrm{rad}(\mathfrak g)=0,则称\mathfrak g半单Lie代数。显然所有单Lie代数都是半单的。

Universal enveloping algebra

我们可以将Lie代数“量子化”为泛包络代数U(\mathfrak g)=T(\mathfrak g)/(xy-yx-[x,y]),此处T是作用在线性空间范畴上的张量代数函子。泛包络代数是一个无穷维(除非\mathfrak g=0)的“泛”(universal)含幺结合代数。若将\mathfrak g视为Lie群上的左不变向量场/一阶微分算子,那么U(\mathfrak g)就是所有左不变微分算子构成的代数。

处理“量子代数”(例如,Clifford代数)的经验告诉我们U(\mathfrak g)有一个自然的滤过代数的结构。容易证明每个U_p(\mathfrak g)都是有限维的,且其伴随分次代数是交换的。更精确地,我们有

(Poincaré-Birkhoff-Witt) 若x_1,x_2,\cdots, x_n\mathfrak g的一组有序基,则所有形如x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n} (\sum k_i \leq p)的单项式构成U_p(\mathfrak g)的一组基。

由此推知(与Clifford代数类似的):(1)自然映射\mathfrak g \to U(\mathfrak g)是单射;(2)\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{l}诱导同构U(\mathfrak h) \otimes U(\mathfrak l) \to U(\mathfrak g);(3)U(\mathfrak g)的伴随分次代数同构于S(\mathfrak g)(对称代数),且有\mathfrak g模同构\mathrm{Sym}:S(\mathfrak g)\to U(\mathfrak g):在这个意义上泛包络代数对应于Boson.

Gelfand和Harish-Chandra注意到Lie代数表示\rho: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)可以提升为结合代数表示\tilde{\rho}:U(\mathfrak g) \to \mathrm{End}(V)。更精确地说,我们有Abel范畴同构{\mathfrak g的表示}\to{左U(\mathfrak g)模}。这给出了统一理解Lie代数表示论的框架。

下面我们将讨论限制在与Lie群直接相关的Lie代数:\mathfrak g是实的或复的 (当然在证明中我们往往可以假定更一般的,基域有特征0)。

Lie’s and Engel’s theorems

可解Lie代数的典型例子是上三角矩阵,而幂零Lie代数的典型例子是严格上三角矩阵。下面2条定理指出这2个例子在表示论的意义上也是典型的:

(Lie定理)若\rho:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)是可解Lie代数\mathfrak g在复线性空间V上的表示,则存在V的一组基使得所有\rho(x)均为上三角矩阵。

(Engel定理)若\rho:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)是幂零Lie代数\mathfrak g在复线性空间V上的表示,则存在V的一组基使得所有\rho(x)均为严格上三角矩阵。特别地,\mathfrak g为幂零Lie代数当且仅当\forall x \in \mathfrak g\mathrm{ad}_x \in \mathrm{End}(\mathfrak g)是幂零的。

Killing form and Cartan’s criterion

给定表示\rho:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V),不难验证B(x,y)=\mathrm{tr}(\rho(x)\rho(y))\mathfrak g上定义了一个对称双线型,且在如下意义上是不变的:B([x,y],z)=B(x,[y,z])

对应于伴随表示\mathrm{ad}的上述对称不变双线型称为Lie代数的Killing形式K(x,y)。由Engel定理推知幂零Lie代数的Killing形式恒等于0。更一般的,我们有

(Cartan判则)\mathfrak g可解当且仅当K([\mathfrak g,\mathfrak g],\mathfrak g)=0\mathfrak g半单当且仅当K非退化。

对于理想\mathfrak h \subset \mathfrak g,其相对于K的正交补\mathfrak h^\bot也是一个理想。非退化的Killing形式将允许我们依照正交关系将\mathfrak g分解为理想的直和,由此推出实/复Lie代数\mathfrak g为半单的当且仅当(1)\mathfrak g可以表为单Lie代数的直和(“半单”的经典定义);(2)\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g]

Levi decomposition

上述讨论显示可解(幂零,交换)Lie代数和半单Lie代数代表了Lie代数谱系的2个极端。综合起来看,我们得以一窥Lie代数的全貌:

(Levi分解)定义在特征0的域上的Lie代数\mathfrak g可分解为\mathrm{rad}(\mathfrak g)和某个半单子代数的半直积

半单Lie代数的理论是“经典”的。稍加推广,我们可以研究(任意基域上的)约化Lie代数\mathfrak g\mathrm{rad}(\mathfrak g)为交换理想(在特征0的域上等价于\mathrm{rad}(\mathfrak g)=Z(\mathfrak g))。由Cartan判则,此时\mathfrak gZ(\mathfrak g)和半单Lie代数[\mathfrak g,\mathfrak g]的直和。
另一方面,可解(甚至幂零)Lie代数的理论则远未完备。
约定今后在讨论实/复Lie代数时,一律用\mathfrak g_0记实Lie代数或某个复Lie代数的实形式\mathfrak g记复Lie代数或某个实Lie代数的复化。由以上讨论,\mathfrak g_0是可解的(幂零的,交换的,半单的,约化的)当且仅当\mathfrak g是可解的(幂零的,交换的,半单的,约化的)。

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