Notes on Lie theory: basic Lie groups and the Lie correspondence


关于Lie群和Lie代数的系列研究是“好数学”的模本:对象简单自然,理论清晰而富有美感,且有物理意义上(或者更广的,现实意义上)的重要性。我希望较从容地讨论理论的“经典”部分。

今后我们用\Bbb F代表\Bbb R\Bbb C

Basic Lie groups

众所周知,Lie群指的是带有群结构的光滑流形(要求(u,v) \mapsto uvu \mapsto u^{-1}光滑)。

“光滑”与其他范畴的关系如下:每个Lie群都有且仅有一个相容的实解析流形结构,这是Ado定理的推论,在处理局部问题时是特别方便的;连通的局部紧拓扑群可实现为Lie群的逆向极限(Gleason-Yamabe),这回答了Hilbert第5问题

(Cartan) Lie群的闭子群是光滑子流形,从而是子Lie群。

由此知GL(n,\Bbb F)及其所有闭子群都是Lie群。这些矩阵群是最基本、最重要的例子。

同时Lie群也与一般的群操作相容:我们可以定义正规子群,取商群,等等。

Lie群在几何中的重要性在于它经常作为流形的对称群出现。

(1)若Lie群G可迁地作用在流形M上,则称MG齐性空间。此时G有一个纤维丛结构\pi:G\to M(以\forall x \in M稳定子群为纤维)。

(2)G左作用,右作用及伴随作用\mathrm{Ad}:G \to G\mathrm{Ad}_g(h)=ghg^{-1}于自身。

(3)G在线性空间V=\Bbb F^n上的(连续、有理)作用定义了一个V模结构,\rho:G \to GL(V)称为G的(线性)表示。特别地,我们有伴随表示\mathrm{Ad}:G \to GL(T_{e}G)

最后我们提及连通交换Lie群的分类(类比有限生成交换群的分类):G=\Bbb R^n \times T^mT^mm维环面。特别地,连通交换紧Lie群(类比有限交换群)必为环面。

Lie correspondence

T_{e}G的元素可视为一左不变向量场,(局部)可积性条件暗示我们除了线性空间结构外T_{e}G上还有更丰富的结构,注意到这一点的Sophus Lie因而开创了以他命名的Lie theory.

一般地,Lie代数指的是带有二元运算[\cdot,\cdot](Lie括号)的线性空间\mathfrak{g},要求Lie括号满足双线性,斜对称性和Jacobi恒等式(从而\mathfrak{g}是一个反交换的非结合代数)。对于任意Lie群G,切空间T_{e}G有一个自然的Lie代数结构\mathfrak{g},这一点可以说明如下:

\forall x \in T_{e}G均对应某个单参数子群,由此可以将矩阵群的指数映射推广到Lie群。由常微分方程理论知\mathrm{exp}:T_{e}G \to Ge的充分小邻域内是一个微分同胚(对于紧群则是满射)。

通常\mathrm{exp}(x)\mathrm{exp}(y)\neq \mathrm{exp}(x+y)。定义[x,y]为“一阶误差”

\mathrm{exp}(x)\mathrm{exp}(y)=\mathrm{exp}(x+y+[x,y]/2+\cdots)或等价地,定义[x,y]交换子

\mathrm{exp}(x)\mathrm{exp}(y)\mathrm{exp}(-x)\mathrm{exp}(-y)=\mathrm{exp}([x,y]+\cdots)

[\cdot,\cdot]的双线性和斜对称性是显然的,Jacobi恒等式则由Lie群乘法的结合律(精确到一阶项)给出,至此我们已赋予T_{e}G以Lie代数结构,记为\mathfrak{g}=\mathrm{Lie}(G)

(1)[x,y]为Lie群间的态射所保持,特别地,为伴随表示\mathrm{Ad}:G \to GL(\mathfrak{g})保持。作为导射伴随自同态\mathrm{ad}:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})满足\mathrm{ad}_x(y)=[x,y]

(2)以上仅考虑了展开的一阶项:事实上由Campbell-Baker-Hausdorff公式,我们知道一阶项[\cdot,\cdot]已包含了连通Lie群的所有群运算信息。连通Lie群的拓扑信息要更微妙一些,尤其是我们知道若G_1G_2的覆叠,则\mathrm{Lie}(G_1)=\mathrm{Lie}(G_2)

对这个问题的最终回答是:将(1)和Lie第3定理精细化,我们可以证明存在

(Lie对应) 函子\mathrm{Lie}:G \mapsto \mathfrak{g}给出连通且单连通的Lie群和有限维Lie代数之间的范畴等价。

这是整个数学中最有用的范畴等价之一。它允许我们将对解析对象(Lie群G)的研究(分类、特殊子群以及表示,等等)转化为对代数对象(Lie代数\mathfrak g)的研究。反之利用可积性定理(例如Frobenius定理)可以证明在Lie对应下\mathfrak g的子代数对应G的闭子群(Chevalley),从而推广了单参数子群的概念。这允许我们将Lie代数的局部信息恢复为Lie群的整体信息。

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s