代数数论:分歧理论


大概是五六年前吧。那是我还在念高中,班上已有人开始读《数论导引》。我永远都记得第一次听说“Fermat-Euler定理”的那个下午。任何一个4n+1型的素数都可以表示为平方和。在我看来,这条定理在简单性和美感之间达成了某种惊人的平衡。

我曾反复尝试“徒手”证明这个结论——直到了解到这花去了Euler数年的时间。后来我的数论知识增长了——虽然很慢——终于也到了能够理解类域论的程度。但这条定理的魅力并不稍减。

在数论中我再也没有遇上能让我如此“悸动”的定理。

问题

Fermat-Euler定理事实上描述了在扩域\Bbb Q(\sqrt{-1})\Bbb Z的素理想的分解状况。一般地,我们希望知道对于数域(或一般的整体域)K的扩张LO_K的素理想将如何分解。

Fermat业已观察到有理数域二次扩张中的许多基本事实。更进一步,对于Abel扩张我们的了解是完全的:这构成整体类域论的内容。

扩张的几何图像

理解分歧理论的最佳途径是首先借助数域和函数域的类比,再利用函数域和代数曲线的范畴等价过渡到紧Riemann面的几何。域扩张的次数[L:K]对应曲面间的映射度。熟知素理想的对应物是曲面上的点,记素理想pL中的分解为\prod q_i^{e_i}e_i称为分歧指数

过渡到局部环。q_i处剩余域F_ip处剩余域F的有限扩张,记其次数为f_i。由此得到数值不变量的基本关系[L:K]=\sum e_i f_i。这允许我们对p进行分类:

(1)若某个e_i>1,则称pq_i处分歧。最糟糕的状况是某个e_i=[L:K],此时我们称p完全分歧。几何上我们得到一个形如z^{1/e_i}支点

(2)称不在(1)中的p为非分歧的。最理想的状况是“覆叠”:原像的个数等于映射度(e_i=f_i=1),此时我们称p完全分解。

扩张的代数性质

\{a \in L: \mathrm{Tr}(aO_L) \subset O_K\}O_L的分式理想,其逆理想D(L/K)O_L的整理想,称为LK的(相对)共轭差积。作为扩张L/K的不变量,D(L/K)可以从基本不变量构建出来:其理想范数即相对判别式\triangle_{L/K}

(分歧判据)p分歧当且仅当p|D(L/K)

D(L/K)q_i处的赋值为d_i,则d_i \geq e_i-1,等号成立当且仅当F_i的特征不整除e_i,此时称pq_i处弱分歧(反之为强分歧)。

结合Minkowski定理,我们得到经典的:给定K的有限素点集S和正整数n,至多有有限个扩域L使得[L:K]=n且在S之外非分歧。特别地,\Bbb Q没有非分歧扩张。

以下要求L/K是Galois扩张。历史上第一个研究此类现象的是Hilbert。置换作用的存在对可能的分歧带有强有力的限制:例如,所有e_i都必须相等,同理所有f_id_i也相等。

局部地看,O_L/q_i是有限域O_K/p的扩张,其Galois群(以Frobenius同构\mathrm{Frob}_{p,q_i}为生成元的循环群)自然嵌入到\mathrm{Gal}(L/K)中。经由置换作用,这在\mathrm{Gal}(L/K)中定义了Frobenius共轭类\mathrm{Frob}_{p,L} (在Abel扩张的情形重新退化为Frobenius同构)。

(完全分解判据)非分歧素理想p完全分解当且仅当\mathrm{Frob}_{p,L}平凡。更一般的,若\mathrm{Frob}_{p,q_i}d阶元,则pO_L中分解为[L:K]/d个素理想。

K在Galois扩张L下的完全分解的素理想集合为\mathrm{Spl}_L(K)。几何上,\mathrm{Spl}_L(K)是“典型”的,有关信息足以决定L的几何“形状”。在数论中,我们也希望达成这一点:例如,由Chebotarev密度定理,我们知道\mathrm{Spl}_L(K)在所有素理想中的密度为1/[L:K],从而得到了扩张次数的信息。对于Abel扩张,已知\mathrm{Spl}_L(K)可由K的算术信息完全描述,这允许我们决定L

分歧在完备化下的性态

分歧理论在完备化下有良好的性态。

(1)[L:K]=\sum[L_{q_i}:K_p],故p完全分解当且仅当L_{q_i}=K_p

(2)p非分歧的情况同样非常简单。此时作为完备离散赋值域的K_p的有限非分歧扩张在Galois群同构意义下一一对应于其剩余域(某个有限域\Bbb F_q)的有限可分扩张。特别地,我们知道K_p的有限非分歧扩张一定是Abel扩张。

2 thoughts on “代数数论:分歧理论

  1. 你上的真是一个好高中啊~

    不过我总觉得你关于数论的这些内容写得过于简略了~
    像是一系列定理的拼凑。

    • 事实上就是一系列定理的拼凑:)
      原因是我本就无意写一套完整的笔记——否则好教材那么多,何不直接读书呢?

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