代数数论：分歧理论

大概是五六年前吧。那是我还在念高中，班上已有人开始读《数论导引》。我永远都记得第一次听说“Fermat-Euler定理”的那个下午。任何一个 $4n+1$ 型的素数都可以表示为平方和。在我看来，这条定理在简单性和美感之间达成了某种惊人的平衡。

我曾反复尝试“徒手”证明这个结论——直到了解到这花去了Euler数年的时间。后来我的数论知识增长了——虽然很慢——终于也到了能够理解类域论的程度。但这条定理的魅力并不稍减。

在数论中我再也没有遇上能让我如此“悸动”的定理。

问题

Fermat-Euler定理事实上描述了在扩域 $\Bbb Q(\sqrt{-1})$ 中 $\Bbb Z$ 的素理想的分解状况。一般地，我们希望知道对于数域(或一般的整体域) $K$ 的扩张 $L$ ， $O_K$ 的素理想将如何分解。

Fermat业已观察到有理数域二次扩张中的许多基本事实。更进一步，对于Abel扩张我们的了解是完全的：这构成整体类域论的内容。

扩张的几何图像

理解分歧理论的最佳途径是首先借助数域和函数域的类比，再利用函数域和代数曲线的范畴等价过渡到紧Riemann面的几何。域扩张的次数 $[L:K]$ 对应曲面间的映射度。熟知素理想的对应物是曲面上的点，记素理想 $p$ 在 $L$ 中的分解为 $\prod q_i^{e_i}$ ， $e_i$ 称为分歧指数。

过渡到局部环。 $q_i$ 处剩余域 $F_i$ 是 $p$ 处剩余域 $F$ 的有限扩张，记其次数为 $f_i$ 。由此得到数值不变量的基本关系 $[L:K]=\sum e_i f_i$ 。这允许我们对 $p$ 进行分类：

(1)若某个 $e_i>1$ ，则称 $p$ 在 $q_i$ 处分歧。最糟糕的状况是某个 $e_i=[L:K]$ ，此时我们称 $p$ 完全分歧。几何上我们得到一个形如 $z^{1/e_i}$ 的支点。

(2)称不在(1)中的 $p$ 为非分歧的。最理想的状况是“覆叠”：原像的个数等于映射度( $e_i=f_i=1$ )，此时我们称 $p$ 完全分解。

扩张的代数性质

$\{a \in L: \mathrm{Tr}(aO_L) \subset O_K\}$ 是 $O_L$ 的分式理想，其逆理想 $D(L/K)$ 是 $O_L$ 的整理想，称为 $L$ 对 $K$ 的(相对)共轭差积。作为扩张 $L/K$ 的不变量， $D(L/K)$ 可以从基本不变量构建出来：其理想范数即相对判别式 $\triangle_{L/K}$ 。

(分歧判据) $p$ 分歧当且仅当 $p|D(L/K)$ 。

记 $D(L/K)$ 在 $q_i$ 处的赋值为 $d_i$ ，则 $d_i \geq e_i-1$ ，等号成立当且仅当 $F_i$ 的特征不整除 $e_i$ ，此时称 $p$ 在 $q_i$ 处弱分歧(反之为强分歧)。

结合Minkowski定理，我们得到经典的：给定 $K$ 的有限素点集 $S$ 和正整数 $n$ ，至多有有限个扩域 $L$ 使得 $[L:K]=n$ 且在 $S$ 之外非分歧。特别地， $\Bbb Q$ 没有非分歧扩张。

以下要求 $L/K$ 是Galois扩张。历史上第一个研究此类现象的是Hilbert。置换作用的存在对可能的分歧带有强有力的限制：例如，所有 $e_i$ 都必须相等，同理所有 $f_i$ 和 $d_i$ 也相等。

局部地看， $O_L/q_i$ 是有限域 $O_K/p$ 的扩张，其Galois群(以Frobenius同构 $\mathrm{Frob}_{p,q_i}$ 为生成元的循环群)自然嵌入到 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 中。经由置换作用，这在 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 中定义了Frobenius共轭类 $\mathrm{Frob}_{p,L}$ (在Abel扩张的情形重新退化为Frobenius同构)。

(完全分解判据)非分歧素理想 $p$ 完全分解当且仅当 $\mathrm{Frob}_{p,L}$ 平凡。更一般的，若 $\mathrm{Frob}_{p,q_i}$ 是 $d$ 阶元，则 $p$ 在 $O_L$ 中分解为 $[L:K]/d$ 个素理想。

记 $K$ 在Galois扩张 $L$ 下的完全分解的素理想集合为 $\mathrm{Spl}_L(K)$ 。几何上， $\mathrm{Spl}_L(K)$ 是“典型”的，有关信息足以决定 $L$ 的几何“形状”。在数论中，我们也希望达成这一点：例如，由Chebotarev密度定理，我们知道 $\mathrm{Spl}_L(K)$ 在所有素理想中的密度为 $1/[L:K]$ ，从而得到了扩张次数的信息。对于Abel扩张，已知 $\mathrm{Spl}_L(K)$ 可由 $K$ 的算术信息完全描述，这允许我们决定 $L$ 。

分歧在完备化下的性态

分歧理论在完备化下有良好的性态。

(1) $[L:K]=\sum[L_{q_i}:K_p]$ ，故 $p$ 完全分解当且仅当 $L_{q_i}=K_p$ 。

(2) $p$ 非分歧的情况同样非常简单。此时作为完备离散赋值域的 $K_p$ 的有限非分歧扩张在Galois群同构意义下一一对应于其剩余域(某个有限域 $\Bbb F_q$ )的有限可分扩张。特别地，我们知道 $K_p$ 的有限非分歧扩张一定是Abel扩张。

4 thoughts on “代数数论：分歧理论”

hyh says:

你上的真是一个好高中啊~

不过我总觉得你关于数论的这些内容写得过于简略了~
像是一系列定理的拼凑。

08/06/2012 at 01:49
- zx31415 says:
  
  事实上就是一系列定理的拼凑：）
  原因是我本就无意写一套完整的笔记——否则好教材那么多，何不直接读书呢？
  
  08/06/2012 at 09:41
Nerves says:

你的博客涉猎的范围太广，都是数学前沿，我都看不懂。很好奇博主是哪方神圣（数学神童，物理学家？），在几年之间就对当代数学有这么全面的了解。

03/21/2017 at 22:53
Zijian Zhang says:

说来惭愧，我则是在本科毕业之后某天无聊刷油管的时候看到这一定理，当初还未意识到这原来就是小学兴趣班老师提到过的“花费欧拉大半生”的Fermat-Euler定理。试图观察求证却发现事情远非所料一般简单。上网一搜才在维基百科上找到了两个版本的三大步证明。记得当初也是深深地被这种“严丝合缝”地，如齿轮般精密啮合的解构所倾倒。只是智力时间有限，只能偶尔了解一下了
不知博主现在何处，还有意维护此博客否？

11/28/2018 at 22:08