复多项式的临界点


这周HKU有一个关于复几何的workshop,我得以了解到即使是在初等如单复变函数论的学科中也可能藏着一些棘手的小问题 (这当然让人联想到de Branges对Bieberbach猜想的证明)。下面是T.W.Ng介绍的几个例子,它们或许不如Bieberbach猜想重要,却同样有趣。

Sendov猜想

关于Sendov猜想和方差猜想我们主要参考了综述:

Khavinson, Pereira, Putinar, Saff, Shimorin  Borcea’s variance conjectures on the critical points of polynomials

给定首一复多项式P(z)=(z-z_1)\cdots(z-z_n)(n\geq 2)并假设所有z_i都落在单位闭圆盘B(0;1)中,我们希望考察其临界点(P'(z)的零点)的分布。熟知的一个初等结果是Gauss-Lucas定理:所有临界点都落在\{z_i\}的凸包中(从而落在单位圆盘内)。

(Sendov猜想) 任意B(z_i;1)中都至少含有一个临界点。

令人诧异的是如此简单的一个猜想竟然迄今未获解决,甚至连较满意的部分结果也不多:例如,尚无法对实系数多项式或者次数大于8的多项式证明此猜想。n \leq 8时的证明(依赖于精细的分析手段)见

Brown, Xiang  Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree at most eight

另一些已获证明的(同时也是非常特殊的)情况包括:所有零点都是实的,所有零点都落在单位圆上,所有零点的凸包是三角形等等。参见KPPSS文中的索引。

Borcea方差猜想

V(P)V(P')的非对称Hausdorff距离\displaystyle \max_{z \in V(P)} \min_{w \in V(P')}|z-w|h(P,P')。Sendov猜想可叙述为h(P,P') \leq 1。常数1已无法再加以改进,这诱导Phelps和Rodriguez进一步猜想使h(P,P')取到最大值的P有形式z^n+e^{i\theta}

现定义p方差\sigma_p(P)\displaystyle \min_c(\frac{1}{n}\sum|z_i-c|^p)^{1/p}\sigma_1(P)是零点集V(P)的平均差,\sigma_2(P)为其方差,\sigma_\infty(P)则是Chebyshev半径。由Hölder不等式易见\sigma_p(P)p的递增函数。我们有

(Borcea方差猜想) h(P,P') \leq \sigma_p(P)\forall p \in [1,\infty]。特别地,h(P,P') \leq \sigma_\infty(P) \leq 1将推出Sendov猜想。

KPPSS介绍了2方差猜想和矩阵理论的联系,以及\infty方差猜想和势论的联系。

Smale平均值问题

我们介绍另一个和Sendov猜想齐名的问题。它也位列“Smale问题”的补充名单上:

(Smale平均值问题) 求满足\displaystyle \min_{w \in V(P')}\frac{|P(z)-P(w)|}{|z-w|} \leq C|P'(z)|的最佳常数C。Smale本人证明了C \leq 4并猜想最佳值是1-\frac{1}{n}(对应多项式z^n+\lambda z)。

这个问题源于Smale对多项式求根算法,特别是Newton法研究。有趣的是,这也与Bieberbach猜想有关。

据信n \leq 5的情况已得到证明,但似乎n=5的证明从未正式发表过。

我不知道C(n)的最新纪录是多少。一个近期(2006)的结果\displaystyle 4 \frac{1+(n-2)4^{\frac{1}{n-1}}}{n+1}。这仍渐进地趋于4,可见完整证明之任重道远。

P.S. For a general problem list, see here.

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