代数数论:局部与整体


近世数学中最重要的一个类比或许是有理数域与有理函数域的对比。研究有理/代数函数时,常用的手段是考虑其在某点处的Laurent展开,从“代数”范畴过渡到(拓扑上完备的)“解析”范畴。现在我们考虑这一过程在数论中的类比。

\Bbb Q的完备化

Hensel第一个考虑了\Bbb Q在各个位(place)处的完备化,这是p进数研究的肇始。

(Ostrowski) \Bbb Q的完备化仅有\Bbb R=\Bbb Q_\infty\Bbb Q_p

p进数的最初应用是求解特定的同余方程。例如,由于p进整数环\Bbb Z_p\Bbb Z/p^n\Bbb Z逆向极限,模p^n的代数方程对任意n可解当且仅当其在\Bbb Z_p中可解。作为局部环\Bbb Z_p的剩余域是有限域,此时分析中求近似解的标准方法(Newton法)将在有限步后给出精确解,此即著名的Hensel引理。这也是一个普遍现象的最简单例证:p进分析一般比实分析/函数论简单。

第一个真正认识到p进数潜力的人是Hensel的学生Hasse。利用p进数,他得以将Hurwitz, Hilbert, Minkowski等人发展得蔚为壮观的二次型理论/有理曲线上的有理点研究整合成一条迷人的定理,其大意为:二次代数方程在\Bbb Q(整体域)上可解当且仅当其在所有\Bbb Q_v(局部域)中可解。关于这部分内容,参见我们之前的讨论

上述“局部-整体”原理/Hasse原理诱使我们寻求其推广。一个可能的方向是考虑高亏格曲线乃至高维代数簇:一般来说,Hasse原理将失去效用。进一步,我们可以考虑特定对象以衡量其失效程度,例如椭圆曲线/Abel簇的Tate-Shafarevich群。另一个可能的方向是将问题中的\Bbb Q/代数数域替换为其他整体域:(有限域上的)有理函数域/代数函数域。一般来说,此替换会(极大地)简化问题。诸多例子中,我们愿意提到函数域上的Langlands纲领 (Drinfeld, Lafforgue)。

 Adele环和Idele群

Someone like you风靡一时的时候,我才后知后觉地知道Adele。当时我曾开玩笑说,她爹一定是搞数论的。数论中的Adele环和Idele群是Chevalley, Weil等人在研究类域论时引入的。

类比亚纯函数环,我们将所有K_v的信息收集在一起,定义其限制拓扑积为整体域的Adele环A_K。它是局部紧致的拓扑交换环,K是其中的离散子环。由1维酉表示的Pontryagin理论知(1)A_K是自对偶的;(2)A_K/K同构于\hat{K},因而是紧致的。

称Adele环A_K的单位群为Idele群J_K,它是K_v^*限制拓扑积。模去主Idele之后,我们得到Idele类群C_K=J_K/K^*。实践中我们常类比紧Riemann面上的“留数和定理”,取J_K^1=\{a\in J_K| |a|=1\}并考虑比C_K略小的商群C_K^1=J_K^1/K^*\Bbb R^n上的Minkowski定理现在可以推广至带有Haar测度的紧拓扑Abel群A_K/K上,由此可以证明重要的:C_K^1是紧群。

理想类群的有限性和单位群的有限生成性都是这一定理的推论。我们只需取:

(1)除子映射\mathrm{div}:J_K \to I_K\mathrm{div}((x_v))=\sum_{v \neq \infty}v(x_v)\cdot v

这诱导C_K^1(紧群)到Cl_K(离散群)的满射,从而Cl_K也是紧群,从而是有限群。

(2)对数映射l:J_K \to \Bbb R^sl((x_v)_v)=(\cdots,\log|x_v|_v,\cdots)_{v \in S},此处S \in \mathrm{Spec}(O_K)是包含K的所有Archimedean位的有限集,s=|S|

对所有v \notin S满足|a|_v=1a \in K^*构成一个乘法群E_S,称为S-单位群。类似Dirichlet定理,S-单位群是有限生成的:\mathrm{ker} l给出挠元,\mathrm{im} l则给出\Bbb R^s的离散子群并使得余核紧致:此为\Bbb Z^s

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