代数数论:基本概念和基本事实


假期里应邀写一篇面向高中生的数论科普。这使我萌生了一个念头:整理一下自己所知的、关于代数数论的零碎知识。这一系列的文章主要依仗于识途老马的经验:

Manin, Panchishkin  Introduction to modern number theory

我们从讨论19世纪的经典结果开始。

代数数域

讨论代数数域可以从两方面入手:域论和\Bbb Q-线性空间的表示论。

1.Galois理论

从Galois理论的角度看,代数数论研究的是\Bbb Q的代数扩张。作为万有对象,\mathrm{Gal}(\bar{\Bbb Q}/\Bbb Q)(“绝对基本群”)几乎包含了我们希望知道的所有信息。当然,我们对这个投射有限群的了解仍很有限:例如,我们不知道是否每个有限群都能实现为它的商群(Galois问题)。

暂时采用更经典的观点。\Bbb Q的有限扩张域有形式K=\Bbb Q(\alpha)(本原元定理)。不妨假定这是一个正规扩张,我们希望研究\mathrm{Gal}(K/\Bbb Q)(“相对基本群”)。

例1:分圆域K_m=\Bbb Q(\zeta_m)\zeta_mm本原单位根。这是一个\phi(m)Abel扩张\mathrm{Gal}(K_m/\Bbb Q)=(\Bbb Z/m\Bbb Z)^{*}。代数数论中最基本的事实之一是:

(Kronecker-Weber定理)\Bbb Q的任意Abel扩张均是某个分圆扩张的子扩张。

特别地,“任意有限交换群均能实现为\mathrm{Gal}(\bar{\Bbb Q}/\Bbb Q)的商群”是KW定理的(平凡)推论。

2.表示论

作为\Bbb Q-代数,左乘在扩域K上诱导自然的伴随表示\rho:K \to \mathrm{End}(K)。定义\beta \in K的迹\mathrm{Tr}\beta和范数\mathrm{N}\beta\rho(\beta)的迹和行列式,\beta的极小多项式即\rho(\beta)的特征多项式。

f_K\alpha的极小多项式,f_K在另一扩域L中分解为\prod f_i,则表示的张量积K \otimes_\Bbb Q L =\prod L_if_i是扩张L_i/L的极小多项式。特别地,我们可以取L\Bbb Q的完备化:目下不妨仅讨论\infty处的完备化\Bbb Rf_K\Bbb R中分解为r_1个一次多项式和r_2个二次多项式。记n=[K:\Bbb Q],我们得到n=r_1+2r_2。几何上,我们得到Kr_1个实嵌入和r_2个复嵌入,它们将K嵌入到\Bbb R^n

代数整数环

\beta \in K为代数整数,若其极小(首一)多项式\in \Bbb Z[X],它们构成交换环O_K

例2:二次域的研究经Gauss之手臻于成熟。特别的,他得到了二次域代数整数环的完整描述:假设\alpha^2=d,则O_K=\Bbb Z[\omega]\omega等于(1+\alpha)/2(d \equiv 1(\mod 4))或\alpha(d \equiv 2,3(\mod 4))。

对于O_K,仍有2种互为补充的观点:其一强调交换环结构,其一强调自由\Bbb Z模结构。

1.O_K作为Dedekind整环

这部分内容无疑是经典代数数论的主干,发轫于Kummer而大成于Dedekind。

熟知\Bbb Z是一个主理想整环(PID),遗憾的是,这一性质通常不能为O_K所保持:最经典的例子是\Bbb Z[\sqrt{-5}],它甚至不是唯一分解整环(UFD)。我们所能保证的是O_KDedekind整环,即整闭且有Krull维数1Noether整环:另一个重要例子是代数曲线的坐标环。

Kummer最重要的数学贡献或许是证明了“代数整数环基本定理”:Dedekind整环中的理想均可唯一分解为素理想的乘积。视素理想为Grothendieck意义下的位(place),其上的自由\Bbb ZI_K称为分式理想群/除子群,我们希望衡量其与主分式理想群/主除子群(从而O_K与PID)的差距:考虑\beta \in K^* \mapsto (\beta) \in I_K,其核是O_K的单位群O_K^*,余核则称为理想类群/除子类群Cl_K(其阶数h_K称为类数)。显然,O_K为PID当且仅当h_K=1

类群和单位群是O_K最重要的不变量,也是经典代数数论的主要研究对象。下面是一个众所周知的例子:对于K=\Bbb Q(\zeta_p),若p>2不整除h_K,则称p正则素数。Kummer证明Fermat大定理对所有正则素数成立。一个负面结果是存在无穷多个非正则素数(Jensen),另一方面,尚不知道是否存在无穷多个正则素数。

关于2次域的类数,我们有著名的Gauss类数猜想

(1)d \to -\inftyh_d \to \infty (Heilbronn);

(2)类数为1,2,3的虚二次域仅有有限个(Baker, Stark等人已给出完整列表);

(3)类数为1的实二次域有无穷多个(未解决,甚至不知道类数为1的数域是否有无穷多个);

2.O_K作为整格

代数上,\mathrm{Tr}(\rho(u)\rho(v))O_K上定义了一个对称双线型B(u,v)(这是Lagrange,Legendre和Gauss研究二次域的观点),记其判别式为D_K。几何上,我们视O_K\Bbb R^n中的整格并记其基本域的体积为V,易见V=2^{-r_2}\sqrt{|D_K|}

数的几何”(Geometrie der Zahlen)的基本定理是:

(Minkowski定理)中心对称且体积大于2^n V的凸集X \subset \Bbb R^n至少包含一个整格。

这条简单的定理却能推出很多不平凡的经典结论:

(Hermite)K \mapsto D_K是一个“有限对一”函数。

(Minkowski) K \neq \Bbb QD_K>1

以及更重要的

(类群的有限性)Cl_K为有限群(即类数h_K < \infty)。

(单位群的有限生成性;Dirichlet) O_K^*为有限生成Abel群,其秩r=r_1+r_2-1

在对数映射下,O_K^*的像又成为一个整格。此时经典不变量——整格的体积(精确到常数\sqrt{r+1})称为K调整子

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