My list of unsolved problems


数学上有很多未解决的问题。在Hilbert看来,这是整个学科兴旺发达的证据。

(1)Hilbert的23个问题中包含了精确的“问题”和模糊的“纲领”。第5问题(Lie群)、第9问题第12问题(代数数论)以及第16问题(代数几何)等至今仍是重要的研究课题。

(2)当下最重要的未知之谜或许当属千禧七问题。除Poincaré猜想外,Riemann猜想P vs NPHodge猜想Birch和Swinnerton-Dyer猜想Navier-Stokes存在性与光滑性Yang-Mills存在性与质量间隙等6个问题均未获解决。

(3)不少数学家试图模仿Hilbert,例如在世纪之交Smale提出了18个有待解决的问题

Smale  Mathematical problems for the next century

Erdős和Arnold等数学家以大量原创性的问题而知名。有兴趣者不妨参考以下著作

Erdős  Old and New Problems and Results in Combinatorial Number Theory

(以及Wiki索引页Erdős conjecture)

Arnold  Arnold’s Problems

(4)专门领域的清单是很常见的。除了Erdős清单(组合数论)和Arnold清单(主要涉及经典力学,微分拓扑和动力系统),著名的例子还包括丘成桐的微分几何问题集。我所知的最新版本是

Yau  Review of Geometry and Analysis

某些分支(例如数论)中有大量未解决的问题。这类似于星系:围绕一二中心(Riemann猜想、Langlands纲领)分布着无数同等重要(或者同等不重要)的小问题,参见

Guy  Unsolved Problems in Number Theory

(5)有些开问题(open problem)非常容易叙述和理解:是否每个大于2的偶数都能表示成2个素数之和(Goldbach猜想)?是否有无穷多对孪生素数?是否每个有限群都能实现为\Bbb Q的某个Galois扩张的Galois群(Galois问题)?S^6上是否有复结构?答案是:没有。)S^4上有多少个微分结构?是否每个截面曲率处处为正的偶数维紧Riemann流形都有正的Euler示性数(Hopf猜想)?

一个可能鼓舞不少“民科”的事实是:有时候甚至连这些问题的解决都是“初等”的,例如\zeta(3)的无理性(Apéry定理)和Bieberbach猜想(de Branges定理)。

(6)Wiki上有一份偏向数论和组合方向的清单

(7)我试图列出自己的一份清单,标准如下:

  • 在我看来这个问题必须是“有趣”的,如果“重要”,则更好;
  • 不应该过分冷僻,也不应该人尽皆知。这排除了(1)(2)(3)(4)中的某些问题。当然,我保留讨论例如Hodge猜想或者Langlands纲领的权利——它们实在太重要了;
  • 或涉及到较摩登的概念,或有更深广的背景:总之,必须复杂到“仅仅为了说清楚这个问题就值得专门写一篇甚至一系列post”,这排除了(5)中的某些问题,尤其是某些“孤立”的数论问题;

(8)这份清单仍有待补充。相关的post也会慢慢写好。

拓扑:

代数:

分析:

Riemann几何:

Kähler几何,辛几何:

数论,代数几何,算术几何:

Lie群,代数群和表示论:

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