关于双曲流形分类的2个问题


回国前的最后一篇post. 打算记录一点新近了解到的有趣玩意。无意于完备,聊以备忘而已。材料是四处搜罗来的,但主要基于

Thurston  The geometry and topology of 3-manifolds

Gromov  Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen)

Casson, Bleiler  Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston

我们假定讨论的所有Riemann流形都是完备的。

熟知单连通的常曲率空间等距同构于S^n(K=1,椭圆),\Bbb R^n(K=0,抛物)或\Bbb H^n(K=-1,双曲,通过球极投影等距同构于Poincaré圆盘B^n)。

这些空间最初是作为非欧几何的模型被讨论的,而Poincaré职业生涯的第一个重要发现正是2维时这3种空间的Riemann流形结构与复结构相容,这给出了Riemann面的所有单值化——参见这个博客最早的几篇文章

绝大多数有趣的流形都是双曲的。我们对目下讨论的双曲流形加上另一条几何限制:要求其双曲体积有限。最基本的例子是亏格g \geq 2的紧Riemann面\Sigma_g

有限双曲流形M^n可以分解成一些“拓扑组件”:这是Thurston讨论几何的惯用观点。最简单的“拓扑闭组件”自然是k维单形S^k (此处要求它们是“刚硬”的:在Poincaré圆盘内对应欧氏单形)。Thurston的观察是:它们的双曲体积有一个自然上界。

上述观察允许我们回答以下2个问题:

(1)给定一个有限双曲流形(的微分同胚型),其上容许多少种互不等距同构的双曲几何结构?

熟知2维的解析同构即共形同构,在限定K=-1的情况下,经典的Teichmüller理论告诉我们\Sigma_g的双曲结构(复结构)构成一个实维数6g-6参模空间。相关课题已是代数曲线理论中发展得很完备的子分支。

我们可以进一步考虑\Sigma_g的微分拓扑:精确地说,考虑它的映射类群。此处我们有所谓的Nielsen-Thurston分类,参见Casson, Bleiler. 这条分类定理在3维双曲几何方面的应用可以参见之前的讨论

n \geq 3时,我们有另一条经典定理:

(Mostow刚性定理) 有限双曲流形的几何结构由基本群(从而由微分同胚型)唯一确定。

Mostow  Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms

Gromov对这条定理的证明可以在Thurston中找到。简而言之,他的证明基于“极大单形的同伦提升仍是极大单形”。

在我看来,此类在高维体现出刚性的现象是很“反常”的。希望知道其他例子的人有以教我。

(2)给定双曲体积,我们可以找到多少个双曲几何的“模型”(精确到微分同胚型)?

2维时Gauss-Bonnet公式给出双曲体积的天然限制:它们必须是2\pi的正整数倍。事实上,所有可能的微分同胚型都可以分解成“裤衩”(“拓扑闭组件”)和“尖点”(“拓扑开组件”)的组合,参见Gromov或Casson, Bleiler.

n \geq 4时,王宪钟证明了体积小于某一给定常数的双曲流形(精确到等距同构类)仅有有限个。特别的,这推出M \mapsto \mathrm{Vol}(M)的象集仍是离散的。

Wang  Topics on totally discontinuous groups 

n=3的情况(Thurston)特别有趣:一方面,M \mapsto \mathrm{Vol}(M)仍是“有限对一”的。另一方面,在Gromov-Hausdorff收敛诱导的拓扑下,所有有限双曲3-流形构成一个闭集。\mathrm{Vol}是这个闭集上的连续函数,故其象集也是一个闭集(Jørgensen)。它是非离散的,其聚点的原像是一些开流形:收敛到聚点的过程可以理解为一种“拓扑爆破”。

证明仍依赖于流形的组合分解:应用Kazhdan-Margulis定理可以证明3维的“拓扑开组件”仅有2种:(以环面为边缘的)“尖点”和“管子”,需要做的只是仔细地分析“爆破”。

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