4维流形的拓扑 Ⅱ:Freedman的工作


Freedman在80年代初期的系列工作极大地推进了对4维拓扑流形的认识,我们拟给出一个简要总结。这个领域的权威参考书无疑是

Freedman, Quinn  Topology of 4-manifolds

此外,还想推荐2本概观性的小书:

Kirby The topology of 4-manifolds

Freedman, Luo  Selected applications of geometry to low-dimensional topology

基本结果

任何有限展示群均可实现为紧4-流形的基本群。我们仅讨论最简单(相对意义下)的情况\pi_1(M)=0。这是一个很强的限制,它推出H_1(M)=0:对于微分流形M,这保证了w_1(M)=0/M可定向。

相交形式Q(M)决定了闭流形M的同伦型。另一个非常重要的(紧流形)不变量是Kirby-Siebenmann不变量\mathrm{ks}(M) \in \Bbb Z_2:它可定义为“M \times S^1不可光滑化”这一命题的真值函数。视为H_4(M,\partial M;\Bbb Z_2)中的元素时,KS不变量是M上光滑结构的障碍类:M有光滑结构的必要条件是\mathrm{ks}(M)=0(由Donaldson的结果我们知道这尚不充分)。

Kirby, Siebenmann   Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings, and Triangulations

闭自旋4-流形的号差被16整除。稍加推广:已知闭自旋3-流形N一一对应于紧自旋4-流形M的边界,定义NRokhlin不变量r(N)=\tau(M) \mod 16:它取0或8。事实上,对于单连通的Mr(\partial M)=8\mathrm{ks}(M),故KS不变量及其消没定理可视为Rokhlin不变量和Rokhlin定理的推广。

一个自然的问题是:哪些整幺模对称双线型和\Bbb Z_2的组合可实现为单连通闭4-流形的相交形式和KS不变量?Freedman的工作给出了这个问题的回答:

(存在性)Q(M)为偶型但8\mathrm{ks}(M)\neq \tau(M) \mod 16的情况是禁止的。除此之外,所有整幺模对称双线型和\Bbb Z_2的组合均可通过某个单连通闭4-流形实现。

(唯一性)Q(M)\mathrm{ks}(M)决定了单连通闭4-流形M的同胚型。

Freedman  The topology of four-dimensional manifolds

在所有偶型中,0E_8是2个最为基本的例子:

(1)由分类定理和上一章的讨论,我们知道存在性定理可化归为如下事实:E_8可实现为某个拓扑流形(E_8流形)的相交形式。当然,它没有光滑结构。

(2)通过研究整幺模对称双线型的直和分解与流形的连通和分解的关系,Freedman将唯一性定理化归为Q=0的情况:此即4维Poincaré猜想。

基本工具

我们的主要兴趣在几何而非拓扑。以下勾勒Freedman工作的基本图景而略去所有技术细节。

几何拓扑中研究M^n的基本手段是考虑映射f: D^2 \to M^n。由Whitney嵌入定理我们知道f的“一般性质”以一种基本的方式依赖于维数nn=3时,D^2“通常”自交于某个1维子流形;n=4时,D^2“通常”自交于若干个孤立点;n\geq 5时,D^2“通常”可以嵌入M^n。正如我们将看到的,这在很大程度上导致了低维拓扑的困难。(几何上的类似现象可归结为Gauss曲率是一个2维对象,或者,Riemann曲率是一个4维对象。)

一般的,考虑M^n的子流形P^kQ^{n-k},并假定x,y是两个相交数相反的交点。n \geq 5时,上述讨论允许我们通过同痕形变消去这2个交点,从而化简PQ的相交:这称为Whitney技巧。它是h协边定理的基本部件,Smale对高维Poincaré猜想的证明即基于此。这部分的内容可参见我们之前的讨论

人们很早就已经知道Whitney技巧在4维失效(Kervaire, Milnor)。然而,Casson发现h协边定理的证明并不需要Whitney技巧的全部力量,他提出了一个“Casson纲领”以避开Kervaire-Milnor反例。在此过程中他引入了Casson环柄的概念。最关键的猜想是所有Casson环柄均微分同胚于标准环柄D^2 \times \Bbb R^2,这将导出4维的h协边定理。

完成这一纲领的是Freedman(我们再一次为无法讨论所有技术细节道歉)。他的主定理是:所有Casson环柄均同胚于标准环柄。由此得到

(Freedman拓扑h协边定理) 若单连通流形M^5是单连通可定向紧流形P^4Q^4之间的h-协边,则M同胚于P \times [0,1],且可保证此同胚在P上的限制是恒等映射。特别地,PQ同胚。

经由Donaldson的工作,现在我们知道光滑范畴的h协边定理在4维并不成立:拓扑同胚是可以期望的最佳结果。特别地,Casson的原始猜想是错误的:D^2 \times \Bbb R^2上确有怪异微分结构,经过更细致的分析,这将导出\Bbb R^4上的怪异微分结构。

证明了拓扑h协边定理后,4维Poincaré猜想的证明已是唾手可得,这与5维的情况并无二致:首先构造以M^4为边缘的可缩流形N^5(例如,M^4上的锥)。截去D^5后,我们对S^4M^4施以拓扑h协边定理。唯一的不同之处(仍然)是:我们丧失了有关微分结构的信息。

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