4维流形的拓扑 Ⅰ:80年代前的结果


为了理解“精致”的4维几何,首先考察较为“鲁棒”的拓扑是不可避免的。这方面已有大量细致的研究,本文总结了80年代前的主要结果——“革命前夜的群像”。

单连通闭4-流形的拓扑

以下考虑单连通的闭4-流形M

Hurewicz定理Poincaré对偶决定了M的同调群:H_0(M)=H_4(M)=\Bbb ZH_1(M)=H_3(M)=0。由万有系数定理H^2(M)无挠,此时相交形式Q(M)是自由\Bbb ZH_2(M)上的幺模对称双线型。它有2个基本的代数不变量:秩和号差。秩等于号差(的绝对值)当且仅当伴随二次型Q(x,y)是正定/负定的。

Q的模2约化定义了\Bbb F_2上的幺模对称双线型\bar{Q},此时有唯一的\bar{u} \in H_2(M,\Bbb F_2)(特征整格)使得\bar{Q}(\bar{u},\bar{x})=\bar{Q}(\bar{x},\bar{x})对任意\bar{x}成立。可以证明\bar{u}\Bbb Z上的拉回u(精确到2\Bbb Z)满足Q(u,u)\equiv \mathrm{sig}(Q) \mod 8

Q(x,x)恒为偶数时称Q为偶型,否则为奇型。Q为偶型等价于\bar{Q}(\bar{x},\bar{x}) \equiv 0/0是\bar{Q}的特征整格,故其号差被8整除。

Q(M)包含大量拓扑信息:事实上它决定了M的同伦型 (Whitehead, Milnor)。过渡到H_2(M;\Bbb R):线性代数给出自然分裂H_\pmQ(M) \otimes \Bbb R的秩和号差分别对应流形的第二Betti数b_2=b_++b_-和号差\tau=b_+-b_-

M可微时,Q(M)也决定了TM的示性类:

(1)Euler类e(M)=2+b_2,Pontryagin类p_1(M)=3\tau(Hirzebruch号差公式);

(2)由吴文俊公式,Stiefel-Whitney类w_2(M)正是\bar{Q}的特征整格。事实上我们可以忘掉切丛结构而直接取此为w_2(M)的定义。w_2(M)=0时,我们称M为(拓扑)自旋4-流形,这等价于要求Q(M)为偶型,此时\tau(M)被8整除。

(3)若M有一个殆复结构,则可定义TM的Chern类。c_2(M)即Euler类e(M)c_1(M)w_2(M)\Bbb Z上的拉回,c_1^2(M)=p_1(M)+2e(M),结合(1)(2)推知b_+为奇数:对于Kähler曲面,这是Hodge指标定理的推论。

相交形式的代数分类

\Bbb Z上幺模对称双线型的代数分类如下:

(1)对于不定型,我们有所谓的Hasse-Minkowski分类:(b_+,b_-)=(m,n)的奇型同构于m(1)\oplus n(-1),偶型同构于\displaystyle n\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\oplus \frac{m-n}{8}E_8(此处E_8是例外Lie代数E_8Cartan矩阵)。我们将上述标准型记为Im,n和IIm,n

(2)确定型的分类要复杂得多:它们可唯一分解为不可约型的直和(Eichler)。同阶的不可约类仅有有限多个,但这个数字增长极快,40阶的不可约确定偶型的个数已超过10^{51}

Milnor  Symmetric bilinear forms

单连通闭4-流形在连通和下构成一个交换半群,而整幺模对称双线型则在直和下构成一个交换半群。显然,M \mapsto Q(M)定义了一个半群同态,上述分类定理提示我们寻找基本的连通块。

4维微分流形 

常见的4-流形当然都是光滑的。早在Donaldson之前,人们就已意识到这限制了可能的相交形式:例如,由Rokhlin定理知闭(光滑)自旋4-流形的号差被16整除。特别地,m-n=8时,IIm,n无法实现为光滑闭4-流形的相交形式,这包括了E_8(II8,0)。

另一方面,复代数曲面提供了大量光滑闭4-流形的例子(由形变理论,单连通复曲面的微分同胚类中总有一个代数曲面)。例如,考虑由齐次方程z_0^d+z_1^d+z_2^d+z_3^d=0定义的射影曲面Z_d \subset \Bbb CP^3Z_1=\Bbb CP^2有相交形式(1)(I1,0),反转定向的-Z_1=\overline{\Bbb CP^2}有相交形式(-1)(I0,1),Z_2=\Bbb CP^1 \times \Bbb CP^1则有相交形式\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}(II1,1)。

不难决定Z_d的所有拓扑不变量(Betti数,号差,示性类)。与分类定理相结合,这允许我们完全决定Q(Z_d)d>1Q为不定型。d为奇数时,Q为奇型;d为偶数时,Q为偶型,此时Z_d是自旋流形(c_1为偶数)。

有理曲面Z_3=Z_1 \# 6\overline{Z_1}有相交形式I1,6K3曲面Z_4有相交形式II19,3,这是第一个带有E_8的例子。

在Donaldson理论中,\pm Z_1Z_2Z_4是构筑光滑闭4-流形的基本模块。一般地,我们希望知道哪些k\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\oplus 2l(E_8)可以作为光滑闭4-流形的相交形式(系数2l是Rokhlin定理的要求)。

k\geq 3l(换言之,b_2 \geq 11|\tau|/8)时这可以通过(k-3l)Z_2 \# lZ_4实现。人们相信这是k的最佳下界——此为著名的11/8猜想。结合Freedman的结果,这将推出上述4种代数曲面的连通和穷尽了单连通的光滑闭4-流形的同胚类。已知的最佳下界5|\tau|/4+2

6 thoughts on “4维流形的拓扑 Ⅰ:80年代前的结果

    • 廖千里 says:

      我想问个问题,假设我有一个N-维流形的公式(f1(x),f2(x),f3(x),…,fn(x)) 。然后我有一个N-维点(x1,x2,x3,x4…,xn) 有没有什么公式可以求这个流形上距离这个点最近的点?

    • 明天还有两门= =

      As for the problem, 除了最简单的超平面和有特殊对称性的曲面,一般来说是没有公式的。

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