奇点与怪球


对我来说,上世纪60年代具有某种梦幻意味——the golden old days。因此Hirzebruch的去世才特别令我感慨:你刚兴冲冲地拿到入场的门票,一代名角却开始纷纷敛容退场,隐没于大幕之后。Atiyah终究见过Weyl一面。我希望——但愿不是奢望——我也有这样的机会。

众所周知,首度发现怪球面的是Milnor(1956),1962年他与Kervaire合作决定了S^7上所有的28种微分结构。1966年,Brieskorn将这一问题与某类代数簇的奇点联系起来,极大地简化了怪球面的构造。原始论文是

Brieskorn  Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten

对这一问题最详尽权威的讨论应属Milnor的专著

Milnor  Singular Points of Complex Hypersurfaces

Hirzebruch亦有和Brieskorn相似的观察。本文的标题取自1966年Hirzebruch在Bourbaki讨论班上的同名报告Singularities and exotic spheres:当然,sphere应该翻译为“球面”,它与ball的区别是明显的。思量过后,我仍决定取中文的对偶并仰仗某种心照不宣的“默契”。

生刍一束,献给Hirzebruch。

奇点

代数函数f:\Bbb C^{n+1} \to \Bbb C给出超曲面V=f^{-1}(0)。为考察x \in V附近的拓扑,取以x为中心的小球面S_\epsilon^{2n-1}并考虑K^{2n-1}=S_\epsilon \cap Vx为正则点的情况是平凡的:K微分同胚于S^{2n-1}并“不打结地”嵌入S_\epsilon。“不打结”的确切含义可通过如下相反的例子来说明:取f(z_0,z_1)=z_0^p+z_1^q(p,q)=1并取x为唯一的奇点:原点。此时K^1虽然微分同胚于S^1,却在同痕意义下给出S^3中的(p,q)环面结

众所周知,代数簇奇点附近的拓扑性状通常很恶劣,往往无法赋予流形结构。但不难证明奇点的充分小邻域同胚于K上的锥面,因而当K的拓扑性质足够好时(例如同胚于球面),我们可以赋予代数簇以拓扑流形结构。

我们将注意力集中到某个孤立奇点附近。定义\phi=f/|f|,利用Morse理论,Milnor证明了(1)\phi:S_\epsilon-K \to e^{it}S^1上的光滑纤维丛,其纤维F^{2n}是以K为边界的可平行化流形:事实上,(2)F有同伦型S^n \vee \cdots \vee S^n,从而是(n-1)连通的,(3)其边界Kn-2连通的。

(3)结合高维Poincaré猜想推出:n \neq 2时,K同胚于球面当且仅当K为同调球 (n=2时,Mumford证明K^3不可能是单连通的,因而上述论断不再成立,参见下面“Beyond”(1)中的讨论)。

转到F:由(2)知“中间同调群”H_n(F)\Bbb Z上的自由模,K为同调球当且仅当相交形式Q(F)为幺模二次型。取\pi_1(S^1)的生成元\alpha\alpha在纤维上的作用h诱导线性映射h_*:H_n(F) \to H_n(F),其特征多项式\Delta(t)=\det(tI-h_*)是更精细的不变量:\Delta(1)=\det Qn=2时,\Delta(t)给出扭结K^1Alexander多项式

下面研究Pham多项式f(z_0,\cdots,z_{n})=(z_0)^{a_0}+\cdots+(z_n)^{a_n}的奇点(原点)。通过调整参数\epsilon\phi可延拓为局部平凡的纤维化\psi:\Bbb C^{n+1}-V\to S^1。以\omega_ia_i次单位根,以J记所有形如(\omega_0^{p_o},\omega_1^{p_1},\cdots,\omega_n^{p_n})(1 \leq p_i \leq a_i-1)的顶点的凸包。Pham证明了J是纤维\psi^{-1}(pt)的收缩核,故可以将F的同调群拉回到J上研究。

\Bbb C^{n+1}-V上有S^1作用h_th_t(z_0,\cdots,z_n)=(e^{it/a_0}z_0,\cdots,e^{it/a_n}z_n)h_{2\pi}显然是h的延拓,它以顶点置换的方式作用于J,由此不难证明:H_n(F)有阶数\prod (a_i-1)h_*的特征根形如\prod \omega_i^{p_i}

Pham  Formules de Picard-Lefschetz généralisées et ramification des intégrales

对我们来说,这一研究的意义在于给出了\Delta(t)分圆多项式分解,使其变得非常容易计算:

(Brieskorn-Pham)\Delta(t)=\prod_p (t-\prod_i \omega_i^{p_i})

怪球

 如上所述,\Delta(1)=\pm 1K同胚于S^{2n-1},我们希望研究K的微分结构。

以下结果是经典的:k \geq 5时,S^k的微分同胚类在连通和运算下构成有限Abel群\Theta_k。若进一步要求S^k界定某个可平行化流形M,则得到子群bP_{k+1}bP_{2m+1}是平凡的。此外,(1)bP_{4m+2}至多有2个元素,S^k的微分结构由Kervaire不变量c(F) \in \Bbb Z_2决定;(2)m\geq 2时,bP_{4m}是有限循环群,其阶数为2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)乘以4B_{m}/m的分子部分,B_mBernoulli数(我们遵从Milnor的记号。数论中由于要考虑B_1故常用B_{2m}表示我们的B_m)。以abP_{4m}的生成元,号差\sigma(M)决定了S^k的微分结构为(\sigma(M)/8)a(熟知\det Q(M)=\pm 1\sigma(M)被8整除)。特别地,\Theta_7=bP_8=\Bbb Z_{28}

Kervaire, Milnor  Groups of homotopy spheres: I

上述(1)(2)结合Brieskorn-Pham定理允许我们“批量生产”怪球面:

(1)取f(z_0,\cdots,z_{2m+1})=z_0^3+z_1^2+\cdots+z_{2m+1}^2,此时\Delta(t)=t^2-t+1满足\Delta(1)=1,故K同胚于S^{4m+1}bP_2bP_6是平凡的,但bP_{10}=\Bbb Z_2,此时Kervaire不变量显示K微分同胚于9维的Kervaire怪球面。

(2)取Brieskorn多项式f(z_0,\cdots,z_{2m})=z_0^3+z_1^{6d-1}+z_2^2+\cdots+z_{2m}^2m \geq 2。这是Brieskorn与Hirzebruch考虑的情况。此时K同胚于S^{4m-1},号差\sigma(M)=(-1)^m 8d。最简单的例子是m=2d=1,2,\cdots,28给出S^7的所有28种微分结构。

Beyond

(1)我们可以考虑比Pham多项式更一般的加权齐次多项式:对每个变量z_i赋予权重1/w_i,要求所有单项式\prod z_i^{a_i}满足\sum a_i/w_i=1。研究S^1作用的不动点将使我们得到同调群的信息(Lefschetz定理),从而最终得到\Delta(t)的显式表示。

一个有趣的例子是考虑SU(2)的离散子群GG-不变的2元多项式的3个生成元由多项式关系f(p_0,p_1,p_2)=0相联系,此处f是一个加权齐次多项式。仍以Vf^{-1}(0)\subset \Bbb C^3,易见p:\Bbb C^2/G \to V是一个同胚,而K同胚于S^3/G。例如,Hirzebruch指出多项式p_0^2+p_1^3+p_2^5=0对应的KPoincaré同调球

上述加权条件以及来自Lie群理论的结果自然使人联想到Coxeter群与奇点分类的神秘关系。迄今为止,关于ADE分类出现在奇点理论中的机制似乎尚未有令人满意的“解释”,对这个“Arnold问题”的进一步探究是有趣的。

(2)\Delta(t)囊括了同调群的信息,事实上,它与Weil\zeta函数紧密相关。我们有如下“类Weil猜想”:对于一般的f\Delta(t)总有一个分圆多项式分解。

和Weil猜想一样,代数曲线的情形是较易处理的。Zariski等人仔细地研究了n=2时相应的扭结理论。特别的,他们证明了此时Alexander多项式\Delta(t)总有一个分圆多项式分解。这部分经典理论的讨论参见Milnor Chap 10.

一般情形的证明由Grothendieck给出,相关讨论参见SGA 7。

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