Uhlenbeck与4维流形的规范场论


我们介绍4维几何中的2个基本分析结果。除Uhlenbeck的原始论文外,我们还参考了

Donaldson, Kronheimer  The Geometry of Four-Manifolds

我们将讨论可定向Riemann流形M^4。取n阶向量丛E \to M,要求其结构群G \subset \mathrm{SO}(n)。约定以A记联络形式,F记曲率形式。在规范变换s:M \to G下,A\mapsto \tilde A=s^{-1}ds+s^{-1}AsF \mapsto s^{-1}Fs 。选取适当的规范经常可以简化计算:这类似于在Riemann几何中选取适当的局部坐标系。

在以下讨论中,我们要求A为Yang-Mills联络,即F满足Yang-Mills方程D^*F=0

\Bbb R^4外,S^4也是物理上重要的4维流形:\Bbb R^4上的速降函数将自然地延拓到S^4S^4的优点在于它是紧致的:通过球极投影\phi:S^4-\{\infty\} \to \Bbb R^4可将其视为\Bbb R^4单点紧化。更理想的是\phi是一个共形映射,因而保持一系列几何性质。对我们来说,最重要的是Hodge星算子(从而Yang-Mills方程)是共形不变的。这提供了共形场论的一个玩具模型

一个自然的问题是除了速降场之外,还有哪些\Bbb R^4上的Yang-Mills场可延拓至S^4

(Uhlenbeck)B^4-\{0\}上满足\parallel F\parallel_2<\infty的三元组(E,A,F)均可光滑地延拓到整个B^4上。注意到B^4是可缩的,E事实上是平凡的。

\phi^{-1}(B^4)是一个半球面,利用2个这样的半球面可以覆盖S^4。上述Uhlenbeck定理对应的物理陈述是:总能量有界的Yang-Mills场在无穷远处有可去奇点

Uhlenbeck  Removable singularities in Yang-Mills fields

在上述定理的证明中,Uhlenbeck利用了所谓的指数规范(exponential gauge)/径向规范(radial gauge),其在正则极坐标系下的径向分量A_r=0

另一种常用规范是Coulomb规范d^*A=0。它是Lorenz规范的Riemann几何对应。

Maxwell理论中,规范变换有形式A \mapsto A-id\chi。此时F=dA,Yang-Mills方程退化为线性椭圆方程d^*F=0。由Fredholm择一定理,这正是存在\chi使得\tilde A成为Coulomb规范的充分必要条件,换言之,无源电磁场总有一个伴随的Coulomb势。

对于高维非交换Lie群G,Yang-Mills方程的非线性、非椭圆性将带来本质困难。我们将暂时牺牲解的正则性,转而考虑Sobolev空间W^s=W^{s,2}并允许AF和规范变换s为de Rham意义下的。此时可以证明Coulomb规范的局部存在性:

(Uhlenbeck)存在常数C_1C_2使得对于平凡丛E \to B^4上满足\parallel F\parallel_2 <C_1的联络A,有且仅有一个规范等价的Coulomb联络\tilde A\parallel \tilde A\parallel_{1,2} \leq C_2\parallel F\parallel_2,且\tilde A在趋近边界时趋于0。

Uhlenbeck  Connections with L^p bounds on curvature

由于d^*\tilde A=0,我们知道上述\tilde A实际上是光滑的。

Coulomb联络的作用类似于Riemann几何中的调和坐标系

K. Uhlenbeck (1942- )

Karen Uhlenbeck无疑是一位特出的女数学家。在4维几何的几位主要研究者中,Donaldson继承了Atiyah的几何风格,Witten以惊人的物理直觉见长,而Taubes和Uhlenbek则以深厚的分析功力著称。

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