John Pardon、3维流形的拓扑和网络时代的数学


这两天在病中,读书全无力气,倒是有时间胡思乱想。潦草地整理了一下思绪,权作抛砖之用。

前段时间,中南大学本科生刘路证明Seetapun猜想并获聘为国内最年轻的正教授级研究员一事引发了不少讨论。我对Ramsey理论和数理逻辑仅有一点皮毛的了解,无法估量这项工作的分量。唯一想说的是:无论拔擢是否过当,能做出原创性的贡献总是好的。同为本科生,在这一点上我便自愧不如。反之,说几句无关痛痒的风凉话是谁都能做的,又何妨少说以至于不说。

谈论刘路的同时,我所想到的(也是不少“圈中人”所想到的)是另一位同龄人John Pardon. 此君在Princeton读本科时已解决了Gromov提出的一个扭结问题,发表在数学界最高刊物Annals上。几个月前,Stanford研究生院一年级在读的Pardon又有新突破:利用极小曲面的技巧他证明Hilbert-Smith猜想的3维情形。如此惊人的早慧,大概只有50年代Priceton的“双星”John Nash和John Milnor才差可比拟。我无意做任何预言,但如果此君在将来的某日摘得Fields奖,我也毫不惊讶。

关于此君的“周边”,例如他的父亲也是数学家,他擅长中文辩论和大提琴演奏等等,可以参见Princeton大学官网上的介绍

09年在清华的时候,我曾在高研院听过孔良研究员的讲座。他提到3维拓扑学的没落:大意是说Poincaré猜想解决后,Thurston的几何化纲领也大致告竣,这个领域里已没有什么值得做的问题。从某种角度上说,的确如此。但近两年的“收官”实在也称得上风生水起。仅在这几个月间,我们已见证了Agol对拟Haken猜想——“3维拓扑里的最后一个大问题”的证明,Kuperberg对“判断绳结是否平凡是NP问题”的证明,以及诸如上面提到的3维Hilbert-Smith猜想等进展。话说回来,或许这种丰收不完全是一件好事:经过这一轮收割,3维拓扑学家可能真的该考虑今后何去何从的问题了。

与一二学术新星的爆发,某些前沿学科的成熟(以及随之而来的、不可避免的“落伍”)相比,更让我感兴趣的是Kuhn所谓的范式转变:互联网的惊人发展已经越来越深刻地影响到数学家研究数学的方式。最引人注目的是预印本网站,数学博客和数学论坛的兴起。

arXiv是现下最著名的预印本网站。此类网站的出现事实上将之前局限于专家之间的交流公开化了,从而降低了前沿研究的准入门槛。公平地说,传统媒介(如图书馆)仍能提供充分的基础训练(毕竟40多年前仍是高中生的Faltings就可以通读EGA了),但预印本网站的确更便于研究者追踪前沿。一个很好的例子是John Pardon,他从高中时代起就开始在网上大量阅读数学论文以了解最新的研究成果。此外,预印本网站也彻底解决了优先权归属问题:所有上传都有案可查。最后,在最近进行得如火如荼的杯葛Elsevier行动中,预印本网站已成为数学家们的“撒手锏”,有理由相信这些开源、免费的网络共享平台最终会成为撬动传统期刊地位的最有力杠杆。

数学博客的最好例子是陶哲轩的What’s new:我想它无疑也是世界上点击率最高的数学博客。每年陶哲轩都将自己的博文整理成实体书出版。随着这部分著作在他全部著作中的比例越来越高,以写博客的方式传播数学(不仅面向数学界,也面向更广义的科学界)已成为他工作的重要方式(如果不是主要方式的话)。任何一个读过Poincaré’s legacies, An epsilon of room的人都会发现它们与传统数学著作的不同:更松散的体例,更平易的语体,等等。但网络的不可替代性在于:唯有通过博客才能实现作者与读者的互动和思想交流。即使对于陶哲轩这样的天才,这也是一个双向受益的过程。而对他人来说,知识上的增长倒在其次,由此产生的激励效应或许才是最重要的:从阅读EGA到有资格与Grothendieck通信花去了Faltings十来年的时间!

为说明这个新范式的确促进了数学的进步,或许再次引用John Pardon的例子是合适的:陶哲轩今年探讨的主题是Hilbert第5问题,他对Hilbert-Smith猜想的讨论直接影响了Pardon.

事实上,我也是通过博客了解到才上面提到的种种进展:3维拓扑学,见Low Dimensional Topology;关于Hilbert-Smith猜想和John Pardon的工作,见What’s new和Area 777

最后,诸如MathOverflow之类的数学论坛提供给数学工作者一个自由交流的空间,它恢复了Academy这个名词的本源意义:一个通过探讨辩论来达致真知的“学园”。Thurston, Gowers以及陶哲轩等一流学者的积极参与,在某种意义上也消解了数学界的“阶级分化”。促进交流的效果是明显的。Pardon对Hilbert-Smith猜想的证明中,涉及到构造某个不可压缩曲面,这基于他与Agol在MathOverflow上的讨论。近日的另一场讨论似乎见证了某种新的构造扭结多项式的方法的诞生。

我特别在意的一点是,国内许多论坛在初建时能保持较高的水准,但结局不外乎两种:要么局限于小众讨论最后趋于萎缩消亡,要么人气高企招来大量民科“迁入”甚至最终被“占领”。但MathOverflow却能在持续繁荣的同时保持自净能力:过分初等或者民科的帖子会在极短时间内收到许多”-1″并被锁贴,这并非是一二管理员的特权,而是基于整个群体的认知和自我约束。从博弈论的角度说,这样的一个社区是进化稳定的。我想根本的问题仍在于国内数学研究者太少,并且水准堪忧,“劣币驱逐良币”即使在网络空间中也是时刻上演,实在令人感叹。

以上是对现状的一点简单观察和浮泛思考。预言网络时代的数学将以何种方式发展远远超出了我的能力,但我愿意将自己所坚信的一个信念与诸君共享:无论技术工具的进步提供给“好学者”多大的便利,最终能做出贡献并推动数学进步的仍是像John Pardon这样传统的“深思者”。

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