Maxwell理论札记


2011年6月5日

没有系统学习过经典电动力学。因为假期里要做家教讲高中电磁学,这两天重读了Feynman的讲义,有新的体会。物理学家习惯用反对称张量,微分算子的内积、外积来描写现象,数学家则说外微分形式,Hodge对偶和外微分算子。阿早和我说过这样的话:把方程写得简单漂亮意思不大,重要的是求解具体的问题。我想Feynman一定会赞同这种哲学。 不过两者也非截然矛盾:例如在讲义第2卷第19章,Feynman展示了如何用Dirichlet原理近似计算圆柱体的电容。

2012年5月5日

时隔将近一年,我决定重写这篇札记:改正了之前的一些错漏,将对Maxwell理论的Lagrange形式的讨论并入本文,并引入规范场论的语言。

以下约定真空电容率\epsilon_0=1,真空磁导率\mu_0=1,因而光速\displaystyle c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}=1

Maxwell理论

E记电场强度,B记磁感应强度,j记传导电流密度,\rho记电荷密度。真空中的Maxwell方程组为:

\nabla \cdot E=0+\rho(1.1)   \nabla \times E=-{\partial }_t B+?(1.2)

\nabla \cdot B=0+?(1.3)      \nabla \times B=\partial_t E+j(1.4)

上述4条方程分别是电场的Gauss定律Faraday电磁感应定律磁场的Gauss定律以及Ampère环路定律的Maxwell修正。?代表假想中磁单极子的贡献。方程右端,第1项描述无源场,第2项描述有源场,此时场源是方程的奇点,这将带来非平凡的上同调类。

J.Maxwell (1831-1879)

1.电荷守恒:对(1.4)取散度并以(1.1)代入,得到\partial_t \rho+\nabla \cdot j=0 (1.5)

历史上,Maxwell正是因为发现Ampère定律和其他电磁学定律结合在一起时不满足电荷守恒的要求才提出在(1.4)的右端加上\partial_t E这一项,从而得到了电磁学的完整规律。

2.波动方程:若不存在电荷和传导电流,(\partial_{tt}-\triangle)E=0(\partial_{tt}-\triangle)B=0。此波动方程组的解即众所周知的电磁波。

3.电磁势:迄今未在实验中发现磁单极子。由(1.3)和Poincaré引理,存在向量势A使得B=\nabla \times A。代入(1.2),同理推出存在标量势\Phi使得E=-\nabla\Phi-\partial_t A

相对论性Maxwell理论

波动方程有对称群O(1) \times O(3),较Lorentz群O(1,3)为小。Einstein提出Maxwell方程的解应该是Lorentz不变的,这导致了狭义相对论的诞生。

现赋予\mathbb{R}^4以Minkowski度量g_{\mu \nu}=(+,-,-,-)使之成为伪Riemann流形。4维流j^\mu=(\rho,j^1,j^2,j^3)是Lorentz不变的,我们要求4维势A^\mu=(\Phi,A^1,A^2,A^3)同样Lorentz不变。定义对偶1形式A_\mu=g_{\mu\nu}A^\nu,2形式F_{\mu \nu}=dA_\mu称为电磁张量F^{\mu \nu}的6个分量将给出电场E^\mu和磁场B^\mu

(1.2)(1.3)的信息以Bianchi恒等式的形式包含在电磁张量中。(1.1)(1.4)则给出

\partial_\nu F^{\mu\nu}=j^\mu  (2.1)

我们称(2.1)为Yang-Mills方程。

Maxwell理论的Lagrange形式

以下假定时空中仅存在电磁场。(2.1)退化为d^* F_{\mu\nu}=0

定义Lagrange量L=F^{\mu\nu}F_{\mu \nu}=F_{\mu\nu} \wedge *F_{\mu\nu}作用量\displaystyle S=\int_{[t_0,t_1] \times \mathbb{R}^3} L

推广Dirichlet原理,可以证明F_{\mu\nu}为上闭形式是S处在临界点的充要条件:最小作用量原理和Yang-Mills方程一致。

电磁应力-能量张量T^{\mu\nu}=F^{\mu\alpha}F_\alpha^\mu-g^{\mu\nu}L/4是一个零迹二阶对称张量:

T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} u&S \\ S&-\sigma_{ij} \end{pmatrix}

其中能量密度\displaystyle u=\frac{1}{2}E^2+\frac{1}{2}B^2,能流密度(Poynting向量)S=E \times BMaxwell应力张量\sigma_{ij}=E_iE_j+B_iB_j-\delta_{ij}u

(能量守恒/Poynting定律\partial_t u+\nabla \cdot S=0  (3.1)

(动量守恒)\partial_t S=\nabla \cdot \sigma  (3.2)

作为规范理论的Maxwell理论

注意到\PhiA的选取各容许一个额外的自由度,这称为规范对称性。加上某个规范条件以冻结这个自由度在处理物理问题时常常是方便的。

(1)Lorenz规范条件\nabla \cdot A+\partial_t\Phi=0:即d^{*}A_\mu=0

(1.1)(1.4)化为(\partial_{tt}-\triangle)\Phi=\rho(4.1)  (\partial_{tt}-\triangle)A=j(4.3)

引入d’Alembert算子\square=\partial^\mu \partial_\mu=dd^*+d^*d,上面2式可合并为

\square A^\mu =j^\mu (4.3)

作为(4.3)的解,A^\mu是Lorentz不变的。

注记:Lorenz规范条件以丹麦物理学家Ludvig Lorenz命名。他与相对论先驱、荷兰物理学家Hendrik Lorentz并非一人。

(2)Coulomb规范条件\nabla \cdot A=0

(1.1)(1.4)化为\triangle\Phi=-\rho(4.4)   (\partial_{tt}-\triangle)A=j-\partial_t\nabla \Phi(4.5)

此时\Phi代表带电粒子的Coulomb势A则给出横向电磁辐射。

Aharonov-Bohm效应显示即使在没有磁场的区域,电磁势的作用仍可能改变波函数的相位。从微分几何的观点看,A_\mu相当于联络形式。对于复函数\psi,规范变换A_\mu \mapsto A_\mu+id\lambda可理解为对应相位变换\psi \mapsto e^{i\lambda} \psi的联络变换。物理上,我们称光子\mathrm{U}(1)对称性。

标准模型中的其他基本粒子有更高的对称性(\mathrm{SU}(2)\mathrm{SU}(3)等等)。对应的,我们要考察构型空间上相应主丛的几何:此即Yang-Mills理论

10 thoughts on “Maxwell理论札记

  1. Wang says:

    1 我个人感觉maxwell方程最漂亮的形式不是这一套

    而是GA

    2 “正如著名的Aharonov-Bohm效应所显示的那样”

    从这套形式 能看出吗? 你的“正如” 是啥意思?

    你对Aharonov-Bohm效应感兴趣吗

    • 1 各有所爱吧。我的口味甚至不能代表所有做数学的:)

      2 我没有讨论QED,只是顺带一提在A-B效应里即使没有磁场也可能存在电磁效应,因而直接用矢势来描述会更合适一些。

      我对A-B效应没有特别的兴趣——我是做数学的。

  2. wang says:

    我偏向于GA 可以把方程整合成一个 而且导数算符可逆

    GA是完全脱离坐标系的语言

    • (3.1)也只有一条式子,而且是Lorentz不变的。我知道对于Rieman度量可以定义Green算子作为Laplacian的逆:https://zx31415.wordpress.com/2011/05/09/hodge%e5%ae%9a%e7%90%86-%e2%85%a0/,但不知道没有Hodge分解的时候该怎么处理。可以给个参考文献么?

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