不可挤压定理和伪全纯曲线


最近我接触到Gromov的部分工作。此君一向以高度的原创性闻名,这里拟介绍他在辛几何方面的革命性贡献。讨论将保持在相对初等的水平:简单介绍伪全纯曲线,不涉及Gromov-Witten不变量,等等。

不可压缩定理与辛容积

以下论及{\Bbb R}^{2n}时,总假定它带有标准辛结构\omega=\sum_i dp_i\wedge dq_i

熟知辛流形(M^{2n},\omega)上的Hamilton相流保持辛体积\omega^n(Liouville定理),一个自然的问题是:保持体积的微分同胚是否总能形变为某个辛同胚?Gromov给出了否定的回答:

(不可挤压定理)给定{\Bbb R}^{2n}中的球体B^{2n}_r和圆柱Z^{2n}_R=B^2_R \times \mathbb{R}^{2n-2}。存在辛嵌入\phi:B^{2n}_r \to Z^{2n}_R的必要条件是r \leq R

形象地说,这意味着辛球体是“不可挤压”的。一个更富文学意味的命名是“辛骆驼原理”:《圣经》有云,富人进天国比骆驼穿针眼还难。幸好,3维的骆驼不可能带有辛结构:)

Gromov的上述结果启发Hofer提出了辛容积(symplectic capacity)的概念。具体地说,对每个辛流形(M,\omega)都可以赋予一个共形的数值不变量c(M,\omega),使得相同维数的流形间存在辛嵌入M_1 \to M_2的必要条件是c_1 \leq c_2。辛容积的存在性有很多应用,一个著名的例子是Hofer-Zehnder容积,它是讨论Weinstein猜想的重要工具。

伪全纯曲线理论

为证明不可压缩定理,Gromov开创性地建立了伪全纯曲线理论。基本的想法是在辛流形上加上一个殆复结构,借助Kähler几何/代数几何中的概念和方法来加深对辛流形的理解。

Gromov  Pseudo Holomorphic Curves in Symplectic Manifolds

仍取辛流形(M^{2n},\omega)。模仿Kähler几何,要求附加的殆复结构J满足\omega(v,Jv)>0,此时M上有诱导的Riemann度量g。所有这样的J构成一个非空的可缩空间

殆复流形间的态射推广了全纯映射。特别地,态射h:\Sigma \to M作为参数化给出一条伪全纯曲线/J全纯曲线,此处\Sigma为某Riemann面。Deligne-Mumford的工作启发Gromov考虑参模空间\mathcal{M}(A,J),此处A为某给定的同调类。利用椭圆算子理论可以证明对于处于“一般位置”的J\mathcal{M}(A,J)是一个可定向的光滑流形。另一方面,Riemann度量允许我们定义能量泛函E(h)=\int_\Sigma g(dh,dh)Gromov紧致定理指出\Sigma=P^1时能量一致有界的曲线族有一个弱收敛子族,这建立了特定参模空间的紧致性。

B^{2}_R可嵌入体积为\pi R^2+\epsilonP^1,进而可将Z^{2n}_R嵌入M=P^1 \times {\Bbb R}^{2n-2}。过M中任意点均存在伪全纯曲线,特别地,这对\phi(0) \in M成立。这条伪全纯曲线经\phi拉回在B^{2n}_r中定义了一条全纯曲线C。而作为极小曲面,C的面积至少为\pi r^2,从而有\pi r^2 \leq \pi R^2+\epsilon。不可挤压定理得证。

辛几何中的“刚与柔”

“刚与柔”(Hardness vs. Softness/Rigidity vs. Flexibility)是Gromov提出的概念。它针对的是辛结构有时像微分结构一样柔软,有时又像全纯结构一样刚硬的现象,从而在研究方法上带来拓扑方法和PDE方法的分野。伪全纯曲线理论显然是“刚”的一例。

“刚”进一步体现在V={\Bbb R}^{2n}上的所有辛同胚\mathrm{Symp}(V)C^0拓扑下是闭的。这与全纯范畴的刚性非常类似。这种刚性是诸如辛容积等辛不变量存在的必要条件。

Eliashberg最先得到这个重要结果。一个利用不可挤压定理和Nash-Moser定理的证明见

Gromov  Partial Differential Relations

作为“柔”的例子,我们举出Gromov的如下结果:开流形M^{2n}上的任意2形式均可形变为辛形式(从而推知开流形总容许辛结构)。他的证明是纯微分拓扑式的,仅用到一些层论。

对以上讨论的一个总结参见1986年ICM上Gromov的发言:

 Gromov  Soft and Hard Symplectic Geometry

不确定性原理

辛流形是Hamilton力学的栖身之所,伪全纯曲线的模空间则带来了“量子”刚性。特别地,对伪全纯曲线的考察将允许我们定义强有力的量子不变量:Floer同调Gromov-Witten不变量。我们不拟在这里进行深入的讨论。

在这个图景下,不可挤压定理的地位“简单而不平凡”:它可以视为经典力学中的“不确定性原理”,换言之,辛容积刻画了共轭量(例如位置与动量)的某种天然极限。

这个方向上的讨论可参见de Gosson的系列文章

参考材料

McDuff, Salamon  Introduction to Symplectic Topology

McDuff, Salamon  J-holomorphic Curves and Quantum Cohomology

此外,Tao在Gromov获得09年Abel奖后也简要介绍了他的不可挤压定理。

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