谱几何初步


这学期选了倪磊的微分几何课。我喜欢他上课的风格:图景清晰,细节准确,间杂一些质朴的幽默感。不过,这部分笔记与其说是课堂的实录,不如说是我自己对相关课题的一点整理。

给定有界区域\Omega \subset \mathbb{R}^n\partial \Omega光滑,考虑Laplace算子-\triangle的Dirichlet型谱问题:
-\triangle u=\lambda u,要求在\partial\Omegau=0
由椭圆算子理论知-\triangle的谱是离散的:0<\lambda_1 <\lambda_2 \leq \cdots\lambda_k \to \infty。注意到\lambda_1总是单特征值,它有特殊的重要性。
这个数学模型在物理中有各种各样的应用,参见名作
Kac  Can One Hear the Shape of a Drum?

基于经典黑体辐射理论,Lorentz猜想\lambda_k的渐进行为足以决定\Omega的体积。在Göttingen宣讲后,Weyl很快给出了证明:
(Weyl渐进公式)\displaystyle \lambda_k \sim \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}},常数V(B^n)代表单位球的体积。
与之相关的,我们有著名的
(Dirichlet型Pólya猜想)\displaystyle \lambda_k \geq \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}}
特别地,Pólya本人证明了若能用\Omega铺满\Bbb R^2,则猜想成立。
Pólya  On the eigenvalues of vibrating membranes
对于一般的\Omega,李伟光和丘成桐证明了Dirichlet型猜想在“平均”意义上成立。
Li, Yau  On the Schrödinger equation and the eigenvalue problem

Kac进一步问:-\triangle的算子谱是否足以在等距同构的意义下确定\Omega?特别地,n=2时算子谱描述了鼓面振动时的特征频率,是否能从鼓的特征频率“听出鼓的形状”?对于闭流形,回答是否定的:早在Kac的论文发表之前,Milnor就构造出了2个同谱却不等距同构的16维环面。
Milnor  Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds
这个结果有很深的数论背景:在16维空间上存在2个偶幺模整格(D_{16}^{+}E_8 \oplus E_8)对应同一个theta函数/模形式\Theta(q)=1+480\sum \sigma_7(n)q^{2n}
80年代初,借助自守形式的谱理论,找到了2个同谱却不等距同构的双曲Riemann面:
Vignéras Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques
90年代初,同谱却不等距同构的2维开区域的例子也被找到,最终否定地回答了“听鼓”问题:
Gordon, Webb, Wolpert  Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds

类似的,可以考虑Neumann型谱问题-\triangle u=\mu u,要求在\partial\Omega{\partial u }/{\partial n}=0-\triangle有离散的非负谱:0=\mu_1<\mu_2 \leq \cdots\mu_k \to \infty
(Weyl渐进公式)\displaystyle \mu_{k+1} \sim \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}}
(Neumann型Pólya猜想)\displaystyle \mu_{k+1} \leq \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}}
Kröger证明了Neumann型猜想同样在“平均”意义上成立。
有趣的是,尽管2个Pólya猜想均未获证明,Friedlander却能够证明\mu_{k+1} \leq \lambda_k。这是支持Pólya猜想成立的有力证据。

P.S. For a general problem list, see here.

3 thoughts on “谱几何初步

  1. Anonymous says:

    少年,今天arxiv上放了一篇文章 http://arxiv.org/abs/1411.1135
    用Li-Yau完全一样的方法去估计 \sum_{i=1}^k \lambda_i^s 的下界,然后在 s\rightarrow \infty 的时候可以证明Polya猜想,实际上就是把Li-Yau对\Delta做的事情换成对\Delta^s做一遍。
    我看了一下目测是对的。如果是对的话,证明这么简单也是醉了。。。

    • 啊哈,已转告H大的同学。过两天或许可以听到Yau的comment.

      (P.S.冒昧一猜,是老高么?)

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