Weierstrass定理:从局部到整体 Ⅱ


我们从研究局部环\mathcal{O}_n的代数性质开始。基本思路和研究多项式环时一致:对n归纳。

(1)\mathcal{O}_n是整环。从“全纯”的观点看,这是局部刚性的简单推论;从“解析”的观点看,这是简单的形式幂级数代数。

下面一律采用“解析”的观点。我们将利用Weierstrass定理把解析问题化归为代数问题。

(2)\mathcal{O}_n是唯一分解整环。由预备定理,只需分解Weierstrass多项式h,而由归纳假设和Gauss引理知\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是唯一分解整环。

(3)\mathcal{O}_n是Noether环。由预备定理,不妨假设f \in \mathfrak{A}是Weierstrass多项式。由除法定理,\forall g \in \mathfrak{A}g=hf+rr \in \mathfrak{A}\cap\mathcal{O}_{n-1}[z_n]。由归纳假设和Hilbert基定理知\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是Noether环,因而\mathfrak{A}\cap\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是有限生成理想,进一步加入生成元f后即可有限生成\mathfrak{A}

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅰ

关于有限生成的\mathcal{O}_nM。由(3)知以下3个概念等价:自由模=射影模=平坦模。

解析Hilbert合系定理的如下局部版本成立:M允许一个长度至多为n+1的自由消解0 \to M \to M^{*}

这部分内容的代数类比(整体情形):Drei Sätze von Hilbert Ⅳ

考虑原点处解析子集的芽\mathfrak{V}_n。与代数子集的情况类似,我们仍可定义\mathcal{O}_n的理想与\mathfrak{V}_n间的映射VI。称X \in\mathfrak{V}_n属于某个解析簇,若X=V(\mathfrak{P})\mathfrak{P}是某个素理想。我们有解析Hilbert零点定理\mathfrak{P}=I(V(\mathfrak{P})),换言之,(4)\mathcal{O}_n是Jacobson环。

现在过渡到整体情形。称X\subset U \subset \mathbb{C}^n为解析集,若\forall z \in X,存在邻域U_z使得X \cap U_z \in \mathfrak{V}_{z,n}。 不可约解析集称为解析簇。显然,解析簇是仿射簇/仿射概型在解析范畴中的对应。同样的,X有一个伴随结构层\mathcal{O}_X,而范畴论方面的所有考虑都可以应用于赋环空间(X,\mathcal{O}_X)及其间的态射。

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅱ

解析簇的维数理论与代数簇完全类似。我们同样可以基于切空间的维数定义正则点和奇点。非奇异解析簇即熟知的解析流形(基域为\Bbb C时,复流形)。同样的,我们可以考虑奇点消解:在解析簇的双亚纯等价类中是否总能找到非奇异簇?这个问题的肯定回答由冈洁给出。

解析簇的整体化(同时也是概型在解析范畴中的对应)称为解析空间。值得注意的是,复射影空间的解析子簇并未给出“射影解析簇”之类的新对象:由周炜良定理,“射影解析簇”正是“射影代数簇”。这是所谓GAGA型定理的一个特出例子。

Serre  Géométrie algébrique et géométrie analytique (See also the English version here)

对解析空间的研究在很大程度上启发了对概型的研究。例如,可以对比Gunning, Rossi和

Grothendieck  Éléments de géométrie algébrique

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅲ

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