Drei Sätze von Hilbert Ⅱ

Hilbert零点定理的源头仍然可以追溯到Gauss：代数学基本定理的一个等价表述是 $\mathbb{C}[X]$ 的素理想与 $\mathbb{C}$ 中的仿射簇一一对应。这在 $\mathbb{R}$ 上是不成立的：例如， $x^2+1$ 与 $x^2+2$ 在 $\mathbb{R}$ 上均没有零点(对应 $\emptyset$ )。

所有在代数集 $X$ 上取值为0的多项式构成理想 $I(X)$ 。Hilbert零点定理断言：

若 $K$ 是代数闭域，则 $K[X_1,X_2,\cdots,X_n]$ 的素理想 $\mathfrak{P}$ 满足 $\mathfrak{P}=I(V(\mathfrak{P}))$ 。或者更一般却等价的，任意理想 $\mathfrak{A}$ 满足 $\sqrt{\mathfrak{A}}=I(V(\mathfrak{A}))$ 。

几何上，零点定理给出根理想与代数集之间一个反转包含顺序的半环同构。

Hilbert基定理保证 $\mathfrak{A}$ 有限生成：取 $P_1,P_2,\cdots,P_m$ 为一组生成元。给定多项式 $R$ ，零点定理等价于如下二分选择：(1) $R \in \sqrt{\mathfrak{A}}$ ：存在多项式 $Q_i$ 和非负整数 $r$ 使得 $\sum P_i Q_i=R^r$ 成立；(2) $R \notin \sqrt{\mathfrak{A}}$ ：方程组 $P_i(x)=0$ ， $R(x)\neq 0$ 有解。

$R=1$ ，即所谓的弱零点定理，对应如下结论： $I(X)=(1)$ 当且仅当 $X=\emptyset$ 。

这种形式的零点定理在算法理论中很有用处。这里是一个基于算法精神的初等证明。

包含 $I(X)$ 的极大理想 $\mathfrak{M}_x$ 一一对应于 $x \in X$ ，即 $V(\mathfrak{A})=\cup V(\mathfrak{M}_x)$ 。称含幺交换环为Jacobson环，若任意素理想(从而任意根理想)均可表为极大理想的交。我们得到零点定理的第3种形式： $K[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 是Jacobson环。

更一般的，Bourbaki的如下结果将零点定理归入“ $R[X]$ 保持 $R$ 的性质”这一系列：(4)Jacobson环上的多元多项式环(乃至有限生成代数)是Jacobson环。

定义仿射坐标环 $A(X)=K[X_1,X_2,\cdots,X_n]/I(X)$ 。一个基本的问题是：有限生成的 $K$ 代数 $A$ 何时可实现为一个代数集的仿射坐标环？零点定理的第4种形式给出了回答：当且仅当 $A$ 不包含非平凡幂零元。这样的 $A$ 称为仿射环。

这个形式的零点定理可以做如下理解。考虑2个范畴：(1)代数集和代数集间的正则映射；(2)仿射环和仿射环间的同态。零点定理断言这2个范畴对偶等价。这构成了现代代数几何的基本哲学：利用范畴1中的几何直观研究范畴2/利用范畴2中的代数工具研究范畴1。

作为上述哲学一个简单例子，我们从仿射环中提取代数集的“维数”信息。

给定仿射环 $A(X)$ ，极大理想的集合 $\mathrm{Spec}_m(A)$ 在几何上对应 $X$ 中的“点”，素理想的集合 $\mathrm{Spec}(A)$ 则对应 $X$ 中的子簇。通常 $\mathrm{Spec}(A)$ 更为重要，因为在范畴论意义下它是自然的。

定义素理想的严格升链 $\mathfrak{P}_0 \subset \mathfrak{P}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{P}_n$ 的长度为 $n$ 。对于给定的 $\mathfrak{P}$ ，定义高度 $\mathrm{ht}(\mathfrak{P})$ 为所有以 $\mathfrak{P}$ 为极大元的严格升链的长度的上确界。定义交换环 $R$ 的Krull维数 $\mathrm{dim}(R)$ 为 $\mathrm{ht}(\mathfrak{P})$ 的上确界。