椭圆性,Hörmander亚椭圆性定理及拟基本解算子


我们讨论了分布,Sobolev空间和伪微分算子的抽象理论。下面看一个极重要的应用。

定义在\Omega \subset \mathbb{R}^n上的m阶(矩阵系数的)微分算子P(x,D)称为椭圆的,若\forall x \in \Omega\forall \xi \in \mathbb{R}^n,其主符号\sigma(P)=p_m(x,\xi)均可逆。

最基本的椭圆算子的例子是Laplace算子。它是一个自共轭算子。一般来说,P是椭圆的当且仅当P^{*}是椭圆的。

通常我们要求(更强的)一致椭圆性:|\sigma(P)|\geq C|\xi|^m。对于常系数算子,易见一致椭圆性和椭圆性是等价的。我们约定以记号p^{(\alpha)}(\xi)表示多项式p的微分,则一致椭圆性又等价于

(H条件)\displaystyle |\frac{p^{(\alpha)}(\xi)}{p(\xi)}|=O(|\xi|^{-|\alpha|})\forall \alpha

为简单计,以下仅讨论有紧支集的开集\Omega上的常系数算子。我们有所谓的“Weyl引理”:

f \in D^{'}(\Omega)P(D)f \in W^s(\Omega),则f \in W^{s+m}(\Omega),此时我们称后者比前者“光滑”m阶。特别地,P(D)f光滑可推出f光滑。

我们知道分布f属于某个充分“粗糙”的Sobolev空间。不妨设f \in W^{s+m-1-k}k是某正整数。证明依赖于不断施行“光滑化”:在\Omega上定义系列光滑函数\psi_k, \cdots,\psi_0,\psi_{-1}使得在\psi_{i+1}的支集上\psi_i=1。令i-1增加到k,Leibniz公式给出

\displaystyle P(D)(\psi_{i+1} f)=\psi_{i+1} P(D)f+\sum_{\alpha \neq 0}\frac{1}{|\alpha|!}P^{(\alpha)}(D)(\psi_i f)D^\alpha \psi_i

右端第一项是光滑的,故左端与右端第二项同样“光滑”。而H条件推出P^{(\alpha)}(D)uP(D)u“光滑”|\alpha|阶,故递推地应用Leibniz公式一次“光滑性”至少提升一阶。证毕。

Hörmander注意到将H条件的右端放宽为O(|\xi|^{-\delta|\alpha|})\delta \geq 1并不影响证明。 应用半代数几何中的Tarski-Seidenberg定理,他进一步证明了放宽后的H条件是“Weyl引理”成立的充要条件,故使“Weyl引理”成立的算子是一类比椭圆算子更广的算子,我们称其为亚椭圆算子

(Hörmander亚椭圆性定理)(放宽后的)H条件完全刻画了亚椭圆算子。

(一致)椭圆性的定义可一字不易地应用于伪微分算子。极其有趣的是椭圆伪微分算子P有双边的逆:存在-m阶的伪微分算子Q使得(在算子等价的意义下)PQ=QP=I。我们不打算给出具体的计算,仅指出这个逆算子是通过渐进展开确定的,本质上仍与利用级数展开消解多项式的刚性类似,而一致椭圆性保证了展开的“收敛性”。

Rellich引理保证了所有光滑化算子的紧性,上述讨论说明模去紧算子后P是可逆算子,因而P(从而Q)是Fredholm算子

上述算子Q称为P拟基本解算子。通常用左拟基本解算子来证明解的正则性,用右拟基本解算子来证明解的存在性。下面各看一个例子。

(1)假定f \in D^{'}(\Omega)Pf \in W^s(\Omega),则f=QPf \in W^{s+m}(\Omega)。我们再一次证明了“Weyl引理”。

(2)假定g \in D^{'}(\Omega)x \in \Omega,则存在f \in D^{'}(\Omega)使得Pf=gx的某邻域内成立。仅仅取右拟基本解算子Qf=Qg是不够的。为此还需注意到PQ是Fredholm算子,故可在x的小邻域外扰动g使其与PQ的余核正交。

上述推理说明椭圆算子总是局部可解的。注意到作为特例,我们已再次证明了(局部)Hodge分解的存在性。

寻找伪微分算子局部可解的充分必要条件是一个重要问题。我们有著名的Nirenberg-Treves猜想:主型伪微分算子的局部可解性等价于“条件\Psi”。Hörmander证明了这个猜想的必要性部分(1981)。2003年,他的学生Dencker最终完成了充分性的证明。

Dencker  The resolution of the Nirenberg-Treves conjecture

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