伪微分算子的基本知识


Fourier变换建立了微分算子和多项式函数的对偶性,将偏微分算子理论与代数几何联系起来。对于(仿射簇的)复代数几何,一个基本的研究手段就是引入超越方法来消解多项式的刚性。将这一手段通过Fourier变换反馈回去,就发展成为伪微分算子的理论。

为讨论Fourier变换方便记,引入记号D^\alpha=i^{-|\alpha|}\partial^\alpha

具体地说,对于\mathbb{R}^n上的光滑算子P(D)=\sum_{|\alpha|\leq k}a_\alpha(x)D^\alpha,Fourier变换给出P(D)u(x)=\int e^{2\pi ix \cdot \xi} p(x,\xi) \hat{u}(\xi)d\xi,多项式p(x,\xi)=\sum_{|\alpha|\leq k}a_\alpha(x)\xi^\alphaP(D)符号

可以用更一般的函数来推广多项式:定义m阶符号\mathrm{Sym}^m(\mathbb{R}^n) \subset C^\infty(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)\{p:|D^\alpha_\xi D^\beta_x p(x,\xi)|\leq C_{\alpha\beta}(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}\}。实参数m给出一系列函数空间的“谱”。m_1<m_2时,\mathrm{Sym}^{m_1} \subset \mathrm{Sym}^{m_2},补充定义\mathrm{Sym}^{-\infty}=\bigcap \mathrm{Sym}^m\mathrm{Sym}^m/\mathrm{Sym}^{m-1}称为m阶主符号。

m阶符号在Fourier变换下的对偶\Psi^m称为m伪微分算子(ΨDO)。它可以扩张成S^{'}\to S^{'},从而也给出W^s \to W^{s-m}。扩张后的-\infty阶伪微分算子是光滑化算子:由Sobolev嵌入定理,它的像总是光滑的。我们称2个伪微分算子是等价的,如果它们相差一个光滑化算子。易见光滑化算子是伪微分算子环中的理想,我们混淆术语的使用,也将其商环称为伪微分算子环。

类比Laurent级数,可以考虑符号的渐进展开,即逼近p \sim \sum_0^\infty p_j\{p_j\}趋于-\infty阶。可以证明形式和\sum_0^\infty p_j在等价意义下唯一确定一个伪微分算子。

渐进展开是一个很方便的工具,其用途大致分为分析和代数两类。

(1)分析:我们定义m阶多元符号\mathrm{Sym}^m(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n) \subset C^\infty(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)\{a:|D^\alpha_\xi D^\beta_x D^\gamma_y a(x,y,\xi)|\leq C_{\alpha\beta\gamma}(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}\}。算子A=a(x,y,D)定义为Au(x)=\int \int e^{2\pi i(x-y) \cdot \xi} a(x,y,\xi) u(y)dy d\xi。顾名思义,多元符号是符号的多元推广:若ay无关,则A退化为a(x,D)。然而这个“推广”是虚假的:

a(x,y,\xi)有紧的x支集和y支集,则上述A事实上是一个伪微分算子,其符号\displaystyle \sim \sum_{\alpha} \frac{i^{|\alpha|}}{|\alpha|!}D_\xi^\alpha D_y^\alpha a(x,x,\xi)

换言之,可以将参数y的作用理解为描述算子p(x,\xi)=a(x,x,\xi)在伪微分算子空间中的形变。这种软化对于考虑各种逼近是方便的。

(2)代数:下面的形式计算一般称为局部符号微积分:

对于复合,\displaystyle \mathrm{sym}(PQ) \sim \sum_\alpha \frac{i^{|\alpha|}}{|\alpha|!}(D_\xi^\alpha p)(D_x^\alpha q)

对于共轭,\displaystyle p^{*} \sim \sum_\alpha \frac{i^{|\alpha|}}{|\alpha|!}D_\xi^\alpha D_x^\alpha \bar{p}^t

对于\Omega \subset \mathbb{R}^n\mathrm{Sym}^m(\Omega)的定义参照我们之前的约定\mathrm{Sym}_0^m(\Omega)的情况仍然要简单得多,我们称对应的伪微分算子是紧支的。上述所有讨论均适用于紧支的伪微分算子。

同样的,通过定义优层,我们可以在紧流形上引入伪微分算子。一个很重要的观察是算子的主符号\sigma(P)在余切丛上是一个定义好的函数,因而伪微分算子的分类是内蕴的。

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