Sobolev空间的基本知识


分布空间是连续函数空间的极小扩张,使得(分布意义下的)微分总是可能的。特别地,我们可以定义L^p函数的微分。从连续范畴过渡到L^p范畴,\mathcal{C}^k(\mathbb{R}^n)的类比物是Sobolev空间

W^{s,p}(\mathbb{R}^n)=\{f \in S^{'}:D^\alpha f\in L^p(\mathbb{R}^n), \forall |\alpha| \leq s)\}

L^p函数是连续函数在L^p范数\parallel \centerdot \parallel_p下的完备化,而W^{s,p}(\mathbb{R}^n)\mathcal{C}^s(\mathbb{R}^n)sL^p范数\parallel f \parallel_{s,p}=\sum_{|\alpha| \leq s} \parallel D^\alpha f \parallel_p下的完备化。

下面仅考察Sobolev空间W^s=W^{s,2}。借助于L^2上的Fourier变换理论,一个显然等价于f \in W^s(且更简单的)刻画是\xi^\alpha \hat{f}(\xi) \in L^2\forall |\alpha|\leq s

第三种等价刻画是(1+|\xi|^2)^{s/2}\hat{f} \in L^2,或(I-\triangle/4\pi^2)^{s/2} f \in L^2

\Lambda^s=(I-\triangle/4\pi^2)^{s/2}。在W^s上定义内积(f,g)=(\Lambda^s f,\Lambda^s g)。(1)在此内积下Fourier变换成为W^sL^2函数(相对于测度(1+|\xi|^2)^s d\xi)的酉同构;(2)此内积诱导的范数记为\parallel \centerdot \parallel_s,同样的推理说明它等价于sL^2范数。

\Lambda^s对于任何实值的s都有定义,因而我们可以对任意实值的s定义s阶Sobolev空间W^s=\{f \in S^{'}:\Lambda^s f \in L^2\}。不难验证(1)W^{-s}可视为W^s的对偶空间;(2)D^\alphaW^sW^{s-|\alpha|}的有界算子。

C^k函数类似,对s>t,有自然嵌入W^s \subset W^t。这种相似性不仅仅是表面上的:

(Sobolev嵌入定理)若s>k+n/2,则W^s \subset C^k

证明依赖于Sobolev不等式:对充分大的ssL^2范数(反过来)控制s阶一致范数。

Sobolev嵌入定理基本上是说s越大则相应函数越光滑。特别地,若f\in W^s对任意大的s成立,则f \in C^\infty。利用Sobolev不等式我们还可以对偶地考察“谱”的另一头,结论是任意有紧支集的分布都属于某个W^s,若s充分小。

对于\mathbb{R}^n中有紧支集的开集,Sobolev空间的概念是简单的:由限制映射诱导。另一方面,对于一般开集,Sobolev空间的定义则比较微妙。我们引入以下约定:假设已定义了光滑函数层F(\mathbb{R}^n)。开区域\Omega \subset \mathbb{R}^n中每个有紧支集的开集\Omega'都通过限制映射从F(\mathbb{R}^n)继承了一个预层的结构,这些预层决定了函数层F(\Omega)。特别地,我们得到了W^s(\Omega)的定义。

此时依然有(1)Sobolev嵌入定理;(2)若\overline{\Omega}紧致,f \in D^{'}(\Omega),则对充分小的sf \in W^s(\Omega)。此外的一个重要结果是

(Rellich引理)自然嵌入W_0^s(\Omega) \hookrightarrow W^t(\Omega)是一个紧算子,此处下标0代表“有紧支集”。

通过简单的推理可以将上述结论推广到紧流形上:我们取开覆盖使得每个开集在参数化后都是紧致的,函数层F(\Omega)是一个优层,即我们可以通过单位分解将问题局部化。

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