分布理论的基本知识


笔记一篇,聊以备忘。

关于分布理论,最权威的著作无疑是

Schwartz  Théorie des Distributions

Gelfand, Shilov  Generalized Functions

关于分布理论在求解线性偏微分方程中的应用,参见

Hörmander  The Analysis of Linear Partial Differential Operators

(一)

\Omega\mathbb{R}^n中的某区域,(复)函数空间\mathcal{E}=C^\infty(\Omega)\mathcal{D}=C^\infty_0(\Omega)Schwartz空间\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)在物理上描述了某些客观实在,但按照近代物理学的观点,我们应仅仅谈论观测结果(及其合理极限)而不应先验地假定观测对象的存在。例如观测粒子的位置时我们所能做的仅仅是不断限定其所处的区间并保持总概率为1,只有通过极限过程才能确定粒子位于“某处”,此时得到的分布函数是Dirac函数\delta(x)。它并非通常意义上的“函数”,却是对物理事实的良好近似。同理,物理量f(x)在“某处”的值事实上指的是该点附近的测量均值(的合理极限):f(0)=\int f(x)\delta(x)dx

总而言之我们应该谈论的不是客观实在而是测量,即连续泛函空间\mathcal{E}^{'}\mathcal{D}^{'}\mathcal{S}^{'},赋予由(f,g)=\int f(x)\overline{g(x)}dx定义的弱-*拓扑。这些连续泛函称为分布或广义函数。分布空间的一大优点是Banach-Steinhaus定理保证它们是(弱)完备的,特别地,所有局部可积函数构成其完备子空间。另一个重要事实是\mathcal{D}\mathcal{E}^{'}/\mathcal{D}^{'}中稠密,这是诸多连续性论证的基础。

(二)

以下3节的讨论以\mathcal{D}^{'}作为模本。在讨论其代数结构前,我们先研究底空间\Omega的拓扑。

\{U_i\}\Omega中的所有开集,则\{\mathcal{D}^{'}(U_i)\}构成一个预层。特别地,若V \subset U,我们有限制态射\rho_{V,U}:\mathcal{D}^{'}(U) \to \mathcal{D}^{'}(V)。一般来说,\rho_{V,U}既非单的也非满的。

我们定义分布f支集\mathrm{supp}f=\Omega-\bigcup\{U:\rho_{U,\Omega}f=0\}

(三)

作为向量空间,\mathcal{D}上有大量线性算子作用。其中最重要的是微分算子。

分布的微分理论对于求解微分方程来说是基本的。基本的观察是若f \in C^1(\Omega)g \in \mathcal{D},分部积分将给出(\partial_i f,g)=-(f,\partial_i g)。即使f为任意分布,右端(根据连续性)仍是一个定义良好的分布,从而唯一确定了分布\partial_i f。一般的,(\partial^\alpha f,g)=(-1)^{|\alpha|}(f,\partial^\alpha g)(\partial^\alpha)^{T}=(-1)^{|\alpha|}\partial^\alpha。类似的可定义与h \in \mathcal{E}的乘法:记M_h: f \mapsto fh,则(M_h f,g)=(f,M_h g)。上述2个定义使得\mathcal{D}^{'}成为线性微分算子作用下的D模

另一个基本的问题是坐标变换:假定m是一个微分同胚,J_m记其Jacobi行列式,则(f\circ m,g)=(f,J_{m^{-1}}g\circ m^{-1})的右端仍是定义良好的,从而确定了f\circ m

分布的微分理论吸收推广了历史上发展的蔚为壮观的积分方程理论

(四)

除内积空间结构外,分布空间上还有一个由卷积定义的交换环结构:

(f*g)(x)=\int f(y)g(x-y)dy=\int g(y)f(x-y)dy=(g*f)(x)

容易验证\delta(x)是这个交换环的单位元。

1)\mathrm{supp}(f*g) \subset \mathrm{supp}f+\mathrm{supp}g

2)卷积与积分、线性微分算子的关系如下:(f*g,h)=((f \otimes g)(x,y),h(x+y))P(f*g)=(P f)*g=f*(P g)

利用Green函数求解偏微分方程的方法在分布理论中发展为基本解的概念:为求解Pf=g,先求基本解Ph=\delta,再令f=g*h即可。Malgrange和Ehrenpreis证明了对于常系数算子P,基本解h总是存在的,因而Pf=g对于任意g都可解。

(五)

\mathcal{S}^{'}中的元素又称缓增分布(tempered distribution)。我们曾经讨论过在Schwartz空间上定义的Fourier变换,类似讨论当然可以推广到缓增分布上。

定义(Fu)(\chi)=(u(x),e^{-ix \cdot \chi})(F^{-1}v)(x)=(2\pi)^{-n}(v(\chi),e^{ix \cdot \chi})

1)与卷积的关系:F(f*g)=(Ff)\cdot (Fg)

2)与常系数线性微分算子的关系:F(Pu)(\chi)=P(\chi)(Fu)(\chi),换言之,Fourier变换将微分算子化为多项式。同时,F\delta=1。故在求常系数方程的基本解时,若先限定解函数\in \mathcal{S}^{'},则可用Fourier变换将微分方程化为代数方程求解,再以Fourier逆变换得到微分方程的解。

Fourier变换将(常系数)偏微分算子理论与(实)代数几何紧密地联系起来。代数几何的刚性是明显的,常用的研究方法是“软化”并引入超越几何的手段。另一方面,为消解偏微分算子的“刚性”,分析学家平行地引入了伪微分算子的概念。在Atiyah-Singer指标定理的证明中,事情变得很清楚:较“柔软”的伪微分算子与拓扑手段的相互作用要良好得多。

沿着这条“对偶性”的线索,我们继续我们通向指标定理的攀爬。

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