Cauchy-Kowalevski定理及其推广


尽管Newton, Euler等人发展了处理微分方程的种种技巧,第一个将解的存在性和唯一性作为严肃问题考虑的数学家可能是Cauchy。考虑常微分方程\displaystyle \frac{du}{dt}=f(t,x),满足初值条件u(t_0)=\phi_0。假定F的解析性,Cauchy借助形式幂级数运算确立了解析解的(局部)唯一性,并通过收敛半径的估计证明了其存在性。远为一般的Picard定理(FLipschitz连续性保证C^1解的存在)以及利用压缩映射不动点定理的证明相比之下要“近代”得多。

现考虑定义在\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n上的偏微分方程\partial_t^d u=f(t,x,\partial_t^k\partial_x^\alpha u)0 \leq k \leq d-1k+|\alpha|\leq d,满足初值条件\partial_t^k u(0,x)=\phi_k(x)。Kowalevski证明了:

(Cauchy-Kowalevski定理)给定在(0,0)的邻域中解析的f\phi_k(\phi_kt的解析性要求可减弱为连续性),上述偏微分方程在(0,0)的邻域中有唯一的解析解u(t,x)

证明和Cauchy定理完全类似,仅有一些技术上的困难。我们再添2个注记:

(1)k+|\alpha|>d时仍可唯一确定满足条件的形式幂级数,但不能保证收敛性。Kowalevski本人给出的反例:热方程\partial_t u=\partial_x^2 uu(0,x)=1/(1+x^2)

(2)和常微分方程的情形不同,F的解析性是必要的:Lewy在\mathbb{R} \times \mathbb{C}构造出了光滑的F使方程\overline{\partial} u-2iz\partial_t u=F(t,z)没有弱解。

除Cauchy-Kowalevski定理外,Kowalevski还以刚体旋转的研究闻名,并籍此赢得法国科学院的大奖。鉴于她与Weierstrass关系暧昧,数学界盛传她的老师为她捉刀代笔了大部分工作。Weyl说过一句俏皮话,大意是近代最出色的两个女数学家一个不是女人(E.Noether),一个不是数学家(Kowalevski),后半句即暗指此事。

更一般的,所谓Cauchy问题指的是求解定义在连通开集\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}上的d阶偏微分方程F(x,\partial^\beta u)=0,在超曲面\Sigma^n \subset \Omega上满足Cauchy边值条件\partial_{\mathrm{n}}^k u(x)=\phi_k(x)0 \leq k \leq d-1x \in \Sigma^n\mathrm{n}\Sigma^n的法向量。

(1)Hadamard意义下的适定性大致上是说偏微分方程的解合乎“物理”:存在,唯一且连续依赖于初值/边界条件。就Cauchy问题而言,Kowalevski的反例显示抛物方程可能是非适定的。注意到对于线性方程,此处的适定性事实上是要求\Sigma^n非特征超曲面

若超曲面是解析的,相应的所有函数也都是解析的,则Cauchy-Kowalevski定理这个“局部”结果在每个邻域给出方程的解,而唯一性定理允许我们将解“拼接”起来,得到整体解。

(2)对于线性椭圆方程,初值的解析性要求是多余的。试说明如下。

注意到Weyl引理在解析范畴中有类比陈述:P是解析系数的椭圆算子Pu\Omega中解析,则u亦解析因而如果方程有弱解,则这个弱解必须是解析的(从而初值也是解析的),而由Cauchy-Kowalevski定理,这个弱解还是唯一的。此即Holmgren唯一性定理

(3)Lewy的反例非常重要:它说明偏微分方程不总是局部可解的。有鉴于此,Hörmander提出了局部可解算子的概念。这是一个相当广大的领域,也极富成果。我们仅提到一个最简单的定理:所有常系数算子都是局部(弱)可解的(Malgrange, Ehrenpreis)。对此Nirenberg有一个非常简单的证明。

Nirenberg  On elliptic partial differential equations

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s