从Bott周期性谈起 Ⅱ


典型群\mathrm{C}(n)的分类空间B\mathrm{C}(n),万有丛E\mathrm{C}(n)和万有Thom空间T\mathrm{C}(n)包含了大量拓扑信息:例如,示性类理论实际上是B\mathrm{C}(n)的同调论,而协边理论T\mathrm{C}(n)的同伦论。由于Thom同构,T\mathrm{C}(n)的同调论并不包含新的信息。另一方面,Bott周期性刻画了B\mathrm{C}/\mathrm{C}的同伦群,它导向拓扑K理论。我们的参考文献来自拓扑K理论的2位创造者:

Atiyah  K-theory

Atiyah, Hirzebruch  Vector bundles and homogeneous spaces

记号:为简单起见,我们用通常的加法和乘法表示向量丛的直和与张量积,k阶平凡丛直接记为k。在这样的约定下,平凡丛的“算术”和自然数的算术一致。

\mathrm{Vect}(X)记紧Hausdorff空间X上的向量丛的等价类。通常来说决定\mathrm{Vect}(X)是不可能的。(\mathrm{Vect}(X),+)是一个交换半群,我们可以满足于更粗糙的分类,但希望有更好的代数结构。拓扑K理论提供的方案是将\mathrm{Vect}(X)“万有提升”为交换群K(X)

\mathrm{Vect}(X)^2上引入如下等价关系:(E_1,E_1^{'}) \sim (E_2,E_2^{'})当且仅当存在E使得E_1+E_2^{'}+E=E_2+E_1^{'}+E,定义Grothendieck群K(X)为相应的等价类。事实上,在张量积下K(X)有自然的交换环结构。这个构造模仿了从\mathbb{N}\mathbb{Z}的过程。

K是紧Hausdorff空间(精确到同伦型)到交换环的反变函子。特别地,K(x_0)=\mathbb{Z}。 考虑定点标记i:x_0 \to X诱导的嵌入i^{*}:K(X) \to K(x_0),约化K函子\tilde{K}定义为\tilde{K}(X_{i(x  _0)})=\mathrm{ker}\ i^{*}。移去标记不改变流形的拓扑,故\tilde{K}(X_{i(x_o)})常简记为\tilde{K}(X),例如K(X)=\tilde{K}(X) \oplus \mathbb{Z}。另一种常用的刻画是:若E_1+m=E_2+n,则称E_1E_2稳定等价(注意我们的定义与Atiyah不同)。\tilde{K}(X)是稳定等价关系的等价类。

定义K^0(X,Y)=K(X,Y)=\tilde{K}(X/Y)K^{-n}(X,Y)=\tilde{K}(S^n(X/Y))\tilde{K}函子对应Y=x_0。Atiyah和Hirzebruch发现由此可将K-理论表述为一个广义上同调论,而此中关键正是Bott周期性。以下仍先考虑复向量丛,我们有:

\tilde{K}(X)=[X_{i(x_0)},B\mathrm{U}],于是\tilde{K}(S^n)=\pi_n(B\mathrm{U})=\pi_{n-1}(\mathrm{U})

更一般地,K^{-n}(X,Y)=[S^n(X/Y),B\mathrm{U}]=[X,Y;\Omega^{n}(\mathbb{Z} \times B\mathrm{U}),pt]

=[X,Y;\Omega^{n-1}\mathrm{U},pt],Bott周期性给出K^{-n}(X,Y)=K^{-(n+2)}(X,Y)

现在可以对n \in \mathbb{Z}定义K^n:按n的奇偶性化归为K^0K^{-1}即可。接下来只需逐条验证Eilenberg-Steenrod公理K的函子性,同伦公理以及切除公理都是平凡的,维数公理则显然不成立。边缘同态\partial的定义和正合公理的验证参见Atiyah。

为方便计,不妨定义函子K^{*}=K^{0}\oplus K^{1}及(相应的)\tilde{K}^{*}。作为同伦不变量,这2个函子在某些情况下足以代替同调群来区分拓扑空间。下面牛刀小试,以Hirsch定理的证明为例:由同伦公理,\tilde{K}^{*}(D^n)=0,但由Bott周期性知\tilde{K}^{*}(S^{n-1}) \neq 0,故S^{n-1}不是D^n的收缩核。由此我们又一次得到Brouwer不动点定理。

上述证明和Hirsch定理的同调论证明非常类似。事实上,两者确有关联:

Chern特征给出同态ch:K(X) \to H^{2*}(X;\mathbb{Q})ch:\tilde{K}(X) \to \tilde{H}^{2*}(X;\mathbb{Q})\tilde{H}^{*}(X;\mathbb{Q}) \cong \tilde{H}^{*+n}(S^n(X);\mathbb{Q})进一步说明ch:K^{*}(X,Y) \to H^{*}(X,Y;\mathbb{Q})是定义好的函子。

有趣的是Bott周期性将给出超对称的自然框架:

ch:K^{0}(X,Y) \to H^{2*}(X,Y;\mathbb{Q})ch:K^{1}(X,Y) \to H^{2*+1}(X,Y;\mathbb{Q})

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