从Bott周期性谈起 Ⅰ


本系列拟以Bott周期性定理为切入点讨论几个紧密相关的话题。

\mathrm{C}(n)n典型群。定义稳定典型群\mathrm{C}为如下包含序列的直接极限

\displaystyle \mathrm{C}:=\mathrm{colim}\ \mathrm{C}(n)=\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathrm{C}(n) \leftarrow \cdots \leftarrow \mathrm{C}(2) \leftarrow \mathrm{C}(1)

C是无限CW复形。但对于给定k,同伦正合列的计算显示当n充分大时,\mathrm{C}(n)k维同伦群彼此同构,故\pi_k(\mathrm{C})总是有限定义的对象。所谓Bott周期性指的是:

\pi_k(\mathrm{U})=\pi_{k+2}(\mathrm{U})                                                       (1)

\pi_k(\mathrm{O})=\pi_{k+4}(\mathrm{Sp})\pi_k(\mathrm{Sp})=\pi_{k+4}(\mathrm{O})                (2)

Bott利用Morse理论给出的原始证明参见

Bott  The stable homotopy of the classical groups

Milnor  Morse theory

暂时先处理较简单的(1)。由于参考文献中的叙述已极为清晰,我们仅勾勒证明的大意。

首先是同伦论中的标准结果:

纤维化S\mathrm{U}(n) \to \mathrm{U}(n) \to S^1给出\pi_i(S\mathrm{U}(n))=\pi_i(\mathrm{U}(n))i>1

纤维化\mathrm{U}(n) \to V_n(\mathbb{C}^{2n}) \to G_n(\mathbb{C}^{2n})给出\pi_i(G_n(\mathbb{C}^{2n}))=\pi_{i-1}(\mathrm{U}(n))i \leq 2n,此处V_n(\mathbb{C}^{2n})为复Stiefel流形

考虑完备Riemann流形Mp,q \in M沿任何测地线不共轭,距离\rho(p,q)=\sqrt{d}。以\Omega记从pq的全道路空间,\Omega^d \subset \Omega记所有从pq的极小测地线。Morse理论中有如下定理:若\Omega^d是拓扑流形,从pq的非极小测地线的指数\geq \lambda,则相对同伦群\pi_i(\Omega,\Omega^d)=00 \leq i <\lambda。于是有同构\pi_i(\Omega^d)=\pi_i(\Omega)=\pi_{i-1}(M)i \leq \lambda-2

\Omega^{d}(S\mathrm{U}(2n);I,-I)=G_n(\mathbb{C}^{2n})。此时\lambda=2n+2,应用上述结果,得到\pi_i(G_n(\mathbb{C}^{2n}))=\pi_{i+1}(S\mathrm{U}(n))i \leq 2n。于是(1)得证,且不难确定\pi_0(\mathrm{U})=0\pi_1(\mathrm{U})=\mathbb{Z}

上述分析可以精细化。事实上,以B\mathrm{U}\mathrm{U}的分类空间,我们有:

\Omega^2 \mathrm{U} \simeq \mathrm{U},或等价地,\Omega^2 B\mathrm{U} \simeq \mathbb{Z} \times B\mathrm{U},此处\simeq表示同伦等价。

这个结果参见

Bott  The space of loops on a Lie group

Bott从工程师转行研究数学,是大器晚成,老而弥坚的典范。我们推荐下面这篇回忆性的短文

Atiyah  Working with Raoul Bott: From Geometry to Physics

R.Bott (1923-2005)

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