从Bott周期性谈起 Ⅱ

典型群 $\mathrm{C}(n)$ 的分类空间 $B\mathrm{C}(n)$ ，万有丛 $E\mathrm{C}(n)$ 和万有Thom空间 $T\mathrm{C}(n)$ 包含了大量拓扑信息：例如，示性类理论实际上是 $B\mathrm{C}(n)$ 的同调论，而协边理论是 $T\mathrm{C}(n)$ 的同伦论。由于Thom同构， $T\mathrm{C}(n)$ 的同调论并不包含新的信息。另一方面，Bott周期性刻画了 $B\mathrm{C}$ / $\mathrm{C}$ 的同伦群，它导向拓扑K理论。我们的参考文献来自拓扑K理论的2位创造者：

Atiyah K-theory

Atiyah, Hirzebruch Vector bundles and homogeneous spaces

记号：为简单起见，我们用通常的加法和乘法表示向量丛的直和与张量积， $k$ 阶平凡丛直接记为 $k$ 。在这样的约定下，平凡丛的“算术”和自然数的算术一致。

以 $\mathrm{Vect}(X)$ 记紧Hausdorff空间 $X$ 上的向量丛的等价类。通常来说决定 $\mathrm{Vect}(X)$ 是不可能的。 $(\mathrm{Vect}(X),+)$ 是一个交换半群，我们可以满足于更粗糙的分类，但希望有更好的代数结构。拓扑K理论提供的方案是将 $\mathrm{Vect}(X)$ “万有提升”为交换群 $K(X)$ ：

在 $\mathrm{Vect}(X)^2$ 上引入如下等价关系： $(E_1,E_1^{'}) \sim (E_2,E_2^{'})$ 当且仅当存在 $E$ 使得 $E_1+E_2^{'}+E=E_2+E_1^{'}+E$ ，定义Grothendieck群 $K(X)$ 为相应的等价类。事实上，在张量积下 $K(X)$ 有自然的交换环结构。这个构造模仿了从 $\mathbb{N}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的过程。

$K$ 是紧Hausdorff空间(精确到同伦型)到交换环的反变函子。特别地， $K(x_0)=\mathbb{Z}$ 。考虑定点标记 $i:x_0 \to X$ 诱导的嵌入 $i^{*}:K(X) \to K(x_0)$ ，约化K函子 $\tilde{K}$ 定义为 $\tilde{K}(X_{i(x _0)})=\mathrm{ker}\ i^{*}$ 。移去标记不改变流形的拓扑，故 $\tilde{K}(X_{i(x_o)})$ 常简记为 $\tilde{K}(X)$ ，例如 $K(X)=\tilde{K}(X) \oplus \mathbb{Z}$ 。另一种常用的刻画是：若 $E_1+m=E_2+n$ ，则称 $E_1$ 与 $E_2$ 稳定等价(注意我们的定义与Atiyah不同)。 $\tilde{K}(X)$ 是稳定等价关系的等价类。

定义 $K^0(X,Y)=K(X,Y)=\tilde{K}(X/Y)$ ， $K^{-n}(X,Y)=\tilde{K}(S^n(X/Y))$ ， $\tilde{K}$ 函子对应 $Y=x_0$ 。Atiyah和Hirzebruch发现由此可将K-理论表述为一个广义上同调论，而此中关键正是Bott周期性。以下仍先考虑复向量丛，我们有：

$\tilde{K}(X)=[X_{i(x_0)},B\mathrm{U}]$ ，于是 $\tilde{K}(S^n)=\pi_n(B\mathrm{U})=\pi_{n-1}(\mathrm{U})$ 。

更一般地， $K^{-n}(X,Y)=[S^n(X/Y),B\mathrm{U}]=[X,Y;\Omega^{n}(\mathbb{Z} \times B\mathrm{U}),pt]$

$=[X,Y;\Omega^{n-1}\mathrm{U},pt]$ ，Bott周期性给出 $K^{-n}(X,Y)=K^{-(n+2)}(X,Y)$ 。

现在可以对 $n \in \mathbb{Z}$ 定义 $K^n$ ：按 $n$ 的奇偶性化归为 $K^0$ 或 $K^{-1}$ 即可。接下来只需逐条验证Eilenberg-Steenrod公理： $K$ 的函子性，同伦公理以及切除公理都是平凡的，维数公理则显然不成立。边缘同态 $\partial$ 的定义和正合公理的验证参见Atiyah。

为方便计，不妨定义函子 $K^{*}=K^{0}\oplus K^{1}$ 及(相应的) $\tilde{K}^{*}$ 。作为同伦不变量，这2个函子在某些情况下足以代替同调群来区分拓扑空间。下面牛刀小试，以Hirsch定理的证明为例：由同伦公理， $\tilde{K}^{*}(D^n)=0$ ，但由Bott周期性知 $\tilde{K}^{*}(S^{n-1}) \neq 0$ ，故 $S^{n-1}$ 不是 $D^n$ 的收缩核。由此我们又一次得到Brouwer不动点定理。

上述证明和Hirsch定理的同调论证明非常类似。事实上，两者确有关联：

Chern特征给出同态 $ch:K(X) \to H^{2*}(X;\mathbb{Q})$ ， $ch:\tilde{K}(X) \to \tilde{H}^{2*}(X;\mathbb{Q})$ 。 $\tilde{H}^{*}(X;\mathbb{Q}) \cong \tilde{H}^{*+n}(S^n(X);\mathbb{Q})$ 进一步说明 $ch:K^{*}(X,Y) \to H^{*}(X,Y;\mathbb{Q})$ 是定义好的函子。