分类空间和万有丛


抽象拓扑学的发展(Whitehead等)使得细致地研究无限复形成为可能。最受关注的是针对某个抽象性质构造的(通常极其巨大的)“万有”对象,对它们的认识将促进对一整类有限复形的研究。这与无穷维分析研究各种函数空间出于同一想法。

在纤维丛的拓扑学中,这样的万有对象是分类空间和万有丛。相关理论有浓厚的表示论风味,是不少重要发展的基础,例如示性类理论广义上同调论和一系列等变理论。

可以合理地说分类空间的理论起源于如下定理:

(Whitney-Steenrod)\mathrm{Vect}_n(X) \cong [X, G_n(\mathbb{R}^{\infty})],其中[X,Y]代表仿紧空间XY的连续映射的同伦类。

此定理可以无困难地推广到复向量丛乃至任意\mathrm{U}(n)-丛。

一般地,给定拓扑群G,具有上述性质的拓扑空间称为G分类空间,记为BG。借用一点范畴论的术语,我们可以给出一个非常干净的叙述:

给定某个同伦范畴(例如,CW流形的同伦等价类范畴),记对象X上所有G主丛的等价类为T(X,G). 函子X \to T(X,G)可表示的(representable):同伦范畴中的对象BG(分类空间)即表示了该函子。

我们来看一些具体的例子:

(1)离散群:此时BGEilenberg-MacLane空间K(G,1)

G=\mathbb{Z}^nBG=T^n;更一般地,Gn阶自由群,BG=\bigvee_{n} S^1

G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}BG=\mathbb{R}P^{\infty};(注意\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\mathrm{O}(1))

(2)典型群:Whitney-Steenrod定理现在可以表述为

B\mathrm{O}(n)=G_n(\mathbb{R}^{\infty})B\mathrm{U}(n)=G_n(\mathbb{C}^{\infty})

在Thom的协边理论中将用到

B\mathrm{SO}(n)=\tilde{G}_n(\mathbb{R}^{\infty})B\mathrm{SU}(n)=\tilde{G}_n(\mathbb{C}^{\infty})

(\tilde{G}_n(\mathbb{R}^{\infty})表示R^{\infty}中的所有已定向的实n-平面,\tilde{G}_n(\mathbb{C}^{\infty})类推)

注记1

示性类理论实际上是分类空间的上同调论:考虑H^{*}(BG)X上的拉回。

Chern类的发现源于简单的观察:与G_n(\mathbb{R}^{\infty})不同,G_n(\mathbb{C}^{\infty})的上同调群是无挠的。

再次考察我们的模本:G_n(\mathbb{C}^{\infty}),它带有称为重言丛(tautological bundle)的向量丛。重言丛在如下意义上是“万有的”:任意n阶向量丛E \to X都是分类映射[X, G_n(\mathbb{R}^{\infty})]在重言丛上的拉回。由此提炼出:

G-主丛EG \to BG万有丛,若任意以G为结构群的丛E \to X都是分类映射f:X \to BGEG上的拉回。

我们尚未处理最基本的存在性和唯一性的问题。这方面的基本结果是:若X是CW复形,则分类空间和万有丛的存在性由Brown表示定理保证,且在同伦意义下唯一。证明是典型的”abstract nonsense“.

G是紧群(从而是U(n)的子群),则EG可缩(因为EU(n)可缩)。此时我们可以用EG来消解群作用的不自由性:

若流形M上有左作用群G,作为M/G(通常有奇点)的替代,定义同伦轨道空间M_G=EG \times_G M\times_G表示拓扑积模去等价关系(p,gq) \sim (gp,q)

我们有交换图

M \to M/GM_G \to M/G外,其余映射都是纤维丛投影。

注记2

定义M等变上同调群H_G^{*}(M)=H^{*}(M_G)。等变上同调是一个双向的构造:若G是平凡的,等变上同调退化为奇异上同调(拓扑);若M是可缩的,等变上同调退化为G群上同调(同调代数)

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