有理域上的代数曲线 Ⅶ


作为这个系列的谢幕,我们回到1维,介绍椭圆曲线研究中最激动人心的近代结果。

假定\mathfrak{E}\mathbb{Q}_p上的椭圆曲线。v: \mathbb{Q}_p \to \mathbb{Z}表示\mathbb{Q}_p上的离散赋值。赋值的离散性允许我们选取一类“极小”方程代表\mathfrak{E}。具体地说,通过适当的坐标变换可以让方程的系数\in \mathbb{Z}_p。此时v(\triangle) \geq 0,使v(\triangle)取到极小值的方程称为\mathfrak{E}的极小Weierstrass模型。

\mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p=\mathbb{F}_p作用于\mathfrak{E}的极小Weierstrass模型,得到有限域\mathbb{F}_p上的曲线\mathfrak{E}_p,这称为椭圆曲线的约化。约化后的\mathfrak{E}_p可能带有奇点,但常点\mathfrak{E}_p^{*}仍构成Abel群。

v(\triangle)=0,则\mathfrak{E}_p是椭圆曲线,这时称约化为好的,否则为坏的。坏约化又可以根据奇点的性质分为:乘法约化,此时奇点是节点(右图);加法约化,此时奇点是尖点(左图)。

乘法约化在奇点处带来2条切线。若两条切线的斜率均属于\mathbb{F}_p,则此乘法约化称为分裂的,否则称为非分裂的。

\mathbb{F}_p上的曲线\mathfrak{E}_p,定义L_p(T)如下:对加法约化,L_p(T)=1;对分裂的乘法约化,L_p(T)=1-T;对非分裂的乘法约化,L_p(T)=1+T;对好约化,L_p(T)=1-a(p)T+pT^2,其中a(p)=p+1-|\mathfrak{E}_p(\mathbb{F}_p)|

以上定义是纯形式的。事实上L_p(T)反应了\mathfrak{E}_p的性质:L_p(1/p)=|\mathfrak{E}_p^{*}(\mathbb{F}_p)|/p。若\mathfrak{E}_p是椭圆曲线,这个等式对应Weil猜想

现在转回对整体域的讨论。\mathbb{Q}上的椭圆曲线\mathfrak{E}在每个p处均有相应的约化。若\mathfrak{E}没有加法约化,则称其为半稳定的。采用这个术语的原因是加法约化将在基域扩张下消失:

\mathbb{Q}上的椭圆曲线\mathfrak{E},存在数域K使得\mathfrak{E}K上的半稳定椭圆曲线(即在K的所有位上\mathfrak{E}的约化都是好的或乘法的)。

“局部-整体”原理在亏格大于0的代数曲线上不再成立。作为替代,可以将各个局部的信息集合成Hasse-Weil L函数L_{\mathfrak{E}}(s)=\prod_{p} L_{p}(p^{-s})^{-1}

v(\triangle) \neq 0等价于p|\triangle,故坏约化仅有有限个,上述Euler积收敛与否取决于a_p。通过估计|\mathfrak{E}_p(\mathbb{F}_p)|,Hasse证明了|a(p)| \leq 2\sqrt{p},从而L_{\mathfrak{E}}(s)Re(s)>\frac{3}{2}收敛。

收敛区域内的Euler积也可写为Dirichlet级数\sum a(n) n^{-s},此处a(n):\mathbb{N} \to \mathbb{Z}是由a(p)扩充而成的积性函数:对加法约化,定义a(p^m)=0;对分裂的乘法约化,定义a(p^m)=1;对非分裂的乘法约化,定义a(p^m)=(-1)^{m+1};对好约化,定义a(p^m)=a(p)a(p^{m-1})-pa(p^{m-2})

将上述讨论与Ramanujan猜想进行对比是有趣的。

类比Riemann \zeta函数,一个自然的猜想是L_{\mathfrak{E}}(s)可以解析延拓到整个复平面。截至上世纪90年代,仅对带有复乘的椭圆曲线(Deuring, Weil)和模椭圆曲线(Eichler, Shimura)证实了此猜想:这意味着Birch和Swinnerton-Dyer在提出他们的著名猜想时,甚至不知道是否所有的L_{\mathfrak{E}}(s)都在s=1处有定义!

突破来自于对Taniyama-Shimura猜想的研究。这一猜想可以粗略地叙述为:所有椭圆曲线都是模曲线。更精确地说,\sum a(n)e^{2n\pi iz}是对应于某个同余子群的权为2的自守形式。这一对应是Langlands纲领的特例。

1994年,Wiles对半稳定的椭圆曲线证明了Taniyama-Shimura猜想。由于86年Frey在假定Fermat大定理不成立的情况下构造出了违背Serre \epsilon猜想及Taniyama-Shimura猜想的半稳定椭圆曲线,而Serre \epsilon猜想已于89年被Ribet证明,Wiles的结果推出Fermat大定理

A.Wiles(1953-  )

2001年,基于Wiles方法,Breuil, Conrad, Diamond和Taylor完全证明了Taniyama-Shimura猜想(模定理)。与Eichler, Shimura的结果相结合,这也解决了L_{\mathfrak{E}}(s)的解析延拓问题(甚至证明了此情况下的Riemann猜想)。

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