有理域上的代数曲线 Ⅵ


考虑Abel簇X,本节的目标是证明Mordell-Weil定理:Abel群X(K)是有限生成的。为此所需的另一个“基本原件”是

(弱Mordell-Weil定理)\forall n>1X(K)/nX(K)是有限群。

事实上我们有如下结果:K(n^{-1}X(K))/K是有限扩张。由此不难推出弱Mordell-Weil定理:记此扩张的Galois群为G,考虑同态X(K) \to \mathrm{Hom}(G, X_n)x \mapsto f_xf_x(g)=(g-id)(n^{-1}x)。不妨假定X上所有n阶点生成的群X_n \subset X(K)(否则考查X_n \cup X(K)),从而上述同态的定义不依赖于n^{-1}x的具体选取。同态核为nX(K),从而诱导嵌入X(K)/nX(K) \to \mathrm{Hom}(G,X_n),由G的有限性推得X(K)/nX(K)的有限性。

为证明上述结果,我们引用代数数论和代数几何中2条(远为一般的)有限性定理:

(Hermite)给定数域K的有限集S和正整数n,仅有有限多个Kn阶循环扩张使得所有分歧点都包含在S中。这是Dirichlet单位定理的推论。

(Chevalley-Weil)若VW是定义在K上的射影簇,\pi:W \to Vd平展态射,则存在位的有限集S满足:给定p \in V(K),存在扩张域K^{'}q \in W(K^{'})使得\pi(q)=p[K^{'}:K] \leq dK^{'}/K的所有分歧点都包含在S中。

现取态射\pi_n:X \to X, x \mapsto nx,由Hermite定理知仅有有限个K^{'}满足Chevalley-Weil定理,从而推出K(n^{-1}X(K))/K是有限扩张。

下面来“组装”2个原件。

X(K)/nX(K)的代表元系x_1,\cdots,x_s及充分大的C使得若\langle x,x \rangle \geq C\langle x-x_i,x-x_i \rangle < 2\langle x,x \ranglei=1,\cdots,s

M=\{x_1,\cdots,x_s\}\cup\{x\in X(K):\langle x,x \rangle < C\},我们证明有限集MX(K)的生成元。否则,在所有无法由M生成的元素中挑出使得\langle x,x \rangle最小的x。设x-x_k=ny,则y也无法由M生成。另一方面,

\displaystyle \langle y,y \rangle=\frac{1}{n^2}\langle x-x_k,x-x_k \rangle <\frac{2}{n^2}\langle x,x\rangle < \langle x,x \rangle,矛盾。

至此Mordell-Weil定理得证。

历史注记

利用椭圆曲线的弱Mordell定理(\mathfrak{E}(\mathbb{Q})/2\mathfrak{E}(\mathbb{Q})是有限群)来证明Mordell定理(在当时仍是“Poincaré猜想”)是Mordell本人采取的途径。这对后来的发展有决定性的影响。

在“组装”的过程中,我们用到了Fermat的“无穷递降法”。Weil指出,经典的无穷递降法之所以有力,原因在于存在这样的现象:椭圆曲线的2倍映射\pi_2将使Néron-Tate高度急剧增大4倍。一个经典的例子是Fermat曲线x^4+y^4=1上不存在有理点(由Fermat利用“无穷递降法”证明)对应椭圆曲线v^2=w^3-w上除(0,0)(\pm 1,0)之外不存在其它有理点(利用2倍映射结合高度的性质证明)。

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