有理域上的代数曲线 V


Mordell-Weil定理的历史重要性(部分)在于其证明首次引入了算术几何的核心概念:高度

(A)射影空间

|x|_vx \in K在素点v处的赋值。整体上,我们有互反律

\displaystyle \sum_v \lambda_v \log |x|_v=0,此处\lambda_v=[K_v:\mathbb{Q}_v]

x=(x_0,\cdots, x_n) \in K^{n+1},定义\displaystyle h(x)=\frac{1}{[K:\mathbb{Q}]}\sum_v \lambda_v\sup_i( \log|x_i|_v)

互反律说明h(\lambda x)=h(x)\forall \lambda \in K^{*},故h可视为定义在射影空间P^n(K)上的函数,h(x)称为x \in P^n(K)的(对数)高度。

在不同的坐标系中,(h_1-h_2)(x)=O(1)O(1)P^n(\overline{K})上的有界函数。这允许我们忽略有界函数而(内蕴地)在等价类集\mathcal{H}(P^n)中考虑高度。

(Northcott定理 Ⅰ)\{x \in P^n(\overline{K}):h(x)\leq C, \mathrm{deg}K(x)\leq d\}为有限集,C>0d>0为常数。

(B)射影簇

V\overline{K}上的射影簇。态射\phi:V \to P^n对应可逆层\phi^{*}(\mathcal{O}_{P^k}(1)),并诱导高度h_{\phi}:V \to \mathbb{R}。不难证明若\phi_1\phi_2对应同一个可逆层,则h_{\phi_1} \sim h_{\phi_2}

Weil的如下定理常被称为“高度理论基本定理”:

以上述方式定义的映射\mathrm{Pic}(V) \to \mathcal{H}(V)\mathcal{L} \to h_{\mathcal{L}}满足

(同态性)h_{\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{L}_2} \sim h_{\mathcal{L}_1}+h_{\mathcal{L}_2}

(函子性)对态射f:V \to WW上的可逆层\mathcal{L}h_{f^{*} \mathcal{L}} \sim h_{\mathcal{L}} \circ f

反之若要求对V=P^nh_{\mathcal{O}(1)}退化为射影空间上的高度(平凡性),则可以证明满足平凡性、同态性和函子性的映射(函子)\mathrm{Pic}(V) \to \mathcal{H}(V)是唯一的。

(Northcott定理 Ⅱ)\{x \in V(\overline{K}):h_{\mathcal{L}}(x)\leq C, \mathrm{deg}K(x)\leq d\}为有限集,\mathcal{L}为某丰富线丛

(C)Abel簇

Abel簇X的附加群结构允许我们挑选出一个“最佳高度”(Néron-Tate高度):

在等价类h_{\mathcal{L}}中可找到唯一的代表元\hat{h}_{\mathcal{L}}:X \to \mathbb{R}为二次型(\langle \ ,\ \rangle:X \times X \to \mathbb{R}\langle x,y \rangle=\hat{h}_{\mathcal{L}}(x+y)-\hat{h}_{\mathcal{L}}(x)-\hat{h}_{\mathcal{L}}(y)为双线性映射,或者等价地,满足平行四边形法则\hat{h}_{\mathcal{L}}(x+y)+\hat{h}_{\mathcal{L}}(x-y)=\hat{h}_{\mathcal{L}}(x)+\hat{h}_{\mathcal{L}}(y))。

特别的,取对称的丰富线丛\mathcal{L}\langle x,x \rangle \geq 0,等号成立当且仅当x是有限阶点。这赋予X(K)一个伪度量空间结构。

(Northcott定理 Ⅲ)\{x \in X(K):\langle x,x \rangle \leq C\}为有限集。

这是Mordell-Weil定理的2个“基本原件”之一。

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s