从变分原理到Einstein场方程


我们希望考察特定变分问题的解以得到Einsten场方程。这种推导在概念上更为明晰,也便于将引力理论纳入整体图景。

g=\det(g_{ij}),定义Einstein-Hilbert作用量

I(g_{ij})=\int RdV=\int \sqrt{-g} Rd^{4}x

(1)显然,I不依赖于坐标选取。

(2)考虑度量的微扰\tilde{g}_{ij}=g_{ij}+\delta g_{ij},要求\delta g_{ij}及其一阶导数在\partial V上消失。其效果是(忽略度量的高阶项)

Ricci曲率的扰动:-\frac{1}{2}D^2\delta g_{ij}+D_k D_i \delta g^k_j+D_k D_j \delta g^k_i-D_i D_j \delta g^k_k

标量曲率的扰动:-R_{ij}\delta g^{ij}+D_i D_j \delta g^{ij}-D^2 \delta g^k_k

\sqrt{-g}的扰动:\frac{1}{2} \sqrt{-g}\delta g^k_k

综上不难算得\delta I=\int \sqrt{-g}G^{ij}\delta g_{ij}G^{ij}=R^{ij}-\frac{1}{2}Rg^{ij}\delta I=0将给出真空Einstein场方程G_{ij}=0

注记1

作为变分问题的解(泛函的临界点),Einstein流形上的度量g_{ij}与Yang-Mills联络具有某种平行性。特别是在4维时,我们有如下定理:

(Atiyah, Hitchin, Singer) M^4是Einstein流形当且仅当其Levi-Civita联络在\Omega^{+}上自对偶。

进一步,考虑\displaystyle J(g_{ij})=\int \sqrt{-g}(-\frac{1}{2}(D\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2) d^{4}x\phi(x)为描述物质分布的某标量场。J的变分将给出Klein-Gordon型方程(D^2-m^2)\phi=0

考虑总作用量S=\displaystyle \frac{1}{16\pi}I+JS的变分将给出Einstein方程G_{ij}=8\pi T^{ij},其中T_{ij}=D_i\phi D_j\phi-\frac{1}{2}((D\phi)^2+m^2\phi^2)g_{ij}

\phi仅仅是一种可能的物质分布。事实上,能量-动量张量T_{ij}可以取诸多不同的形式,而我们对它的了解(基于天文观测)仍是极为有限的。与测量宇宙常数、Hubble常数等唯象层面上的困难相比,或许应该说决定能量-动量张量才是宇宙学研究的根本问题。

注记2

一个观察是上述推理不依赖于(1)维数为4;(2)度量为伪Riemann度量,因此有如下应用:

考虑光滑曲面\Sigma。Gauss曲率K=R/2(绝妙定理),因而R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}=0。这意味着度量的光滑扰动不改变积分I(g_{ij})=\int K dS。另一方面,单值化定理告诉我们可赋予闭曲面一个常曲率空间的结构,此时上述积分是容易计算的:\chi(\Sigma)。这就证明了2维的Gauss-Bonnet公式。

2 thoughts on “从变分原理到Einstein场方程

  1. wang says:

    与测量宇宙常数、Hubble常数等唯象层面上的困难相比,或许应该说决定能量-动量张量才是宇宙学研究的根本问题。

    非常赞同!!!

    这个问题似乎由一套GA的语言的GTG理论已经解决了 但我没有看懂 不知道是否已经彻底解决了

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s