宇宙学的标准模型:大爆炸与Friedmann宇宙


基于量子场论和广义相对论,物理学家建立了2个有广泛解释力的唯象理论:粒子物理学中的标准模型整合了电磁作用力,弱作用力和强作用力,对已知的微观现象给出了一个较满意的描述;在最大尺度上,我们有大爆炸理论和Friedmann提出的宇宙模型来描述宇宙的诞生和演化。现在我们简单地介绍后者。仍取自然单位制:万有引力常数G=1,光速c=1

下面的讨论仍以’t Hooft为主要参考文献。另一个更加完备且十分精彩的介绍见

Dubrovin, Fomenko, Novikov  Modern geometry: Methods and Applications  Vol.2

【方程的导出】

A.Friedmann(1988-1925)

Friedmann采用的基本假设是所谓的宇宙学原理:空间(在大尺度上)满足齐性(Copernican原理)和各向同性,即时空流形的Lorentz度量有形式ds^2=-dt^2+a^2(t)dw^2。对各向同性空间,R_{ij}=\lambda g_{ij}。取决于\lambda的符号,空间将拥有Thurston的3种标准几何之一。

先确定dw^2。取极坐标dw^2=B(r)dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2 \theta d\phi^2),Ricci曲率的分量\displaystyle R_{11}=\frac{B' }{rB}\displaystyle R_{22}=1-\frac{1}{B}+\frac{rB'}{B^2},与g_{11}=Bg_{22}=r^2联立,可解得\displaystyle B(r)=\frac{1}{1-k r^2},其中k=\lambda/2且已规格化为0, \pm 1k将决定空间的几何。

现在利用Einstein场方程来确定度量的演化。利用度量表示曲率:\displaystyle R^0_0=\frac{3\ddot{a}}{a}\displaystyle R^i_i=\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{2}{a^2}(\dot{a}^2+k)i=1,2,3,故\displaystyle R=\frac{6}{a^2}(a\ddot{a}+\dot{a}^2+k)

代入Einstein场方程给出2条Friedmann方程

(取T_{00};能量守恒)\displaystyle (\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi}{3}\frac{\rho}{a^3}-\frac{k}{a^2}+\frac{\Lambda}{3}    (1)

(取方程的迹;Raychaudhuri方程)\displaystyle \frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi}{3}(\rho+3p)+\frac{\Lambda}{3}     (2)

此处\rho=T_{00}/g_{00}a^3为质量密度,p=-g_{ij}/T_{ij}为压强。

【额外假设和解析解】

Friedmann最初考虑的是\Lambda=0的情况(历史上,Einstein正是因为发现\Lambda=0将排除宇宙保持静态的可能才引入了宇宙常数,参见【解的研究】)。Friedmann进一步假设宇宙充满热辐射且光子守恒,此时\displaystyle p=\frac{\rho}{3a^4},可求出方程的解析解:

\displaystyle a\dot{a}^2+ka=\frac{8\pi \rho_0}{3}=D,解得摆线\displaystyle a(\phi)=\frac{D}{2k}(1-\cos(2\phi))\phi为参数。由于D>0t>0a>0,有如此下3种可能(点击图片可放大):

(1) k>0,此时\phi为实数,对应“闭宇宙”;

(2) k<0,此时\phi为虚数,对应“开宇宙”(之前的一条注记说明这在数学上并非必然);

(3) k=0,此时\phi近似为0,对应“平坦宇宙”;

【解的研究】

上述Einstein场方程的精确解称为Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker度量

上述3种FLRW度量显示宇宙不可能是静态的,且曲率将决定其最终演化。k>0t \to \infty时,宇宙在膨胀到一定程度后将开始收缩并终结于“大挤压”。另一方面,沿时间回溯,上述解似乎显示宇宙必须有一个“大爆炸”式的开始。这些结果出乎Einstein本人的预料:他在场方程中加入了宇宙常数项试图平衡这一效应。

注记

时空流形的奇点是一个得到广泛研究的课题。最初不少物理学家(例如前苏联的Lifshitz)相信,对于“太初宇宙”,宇宙学原理将受到破坏,这可以阻止沿类时测地线回溯到某个奇点。这一希望被Penrose-Hawking奇点定理粉碎了:满足因果律、强能量条件和广义相对论方程的时空流形将不可避免地含有奇点。

1929年,Hubble基于大量的天文观测提出了著名的Hubble定律:来自遥远星系光线的紅移正比于它们的距离,比例系数\displaystyle H_0=\frac{\dot{a}}{a}(0)称为Hubble常数(当然,实际上它并非常数,而必须遵守Friedmann方程(1))。这成为支持大爆炸理论的决定性证据。Einstein因此放弃了宇宙常数,并称其为“一生中最大的错误”。

E.Hubble(1889-1953)

近些年来,天体物理学家又见证了宇宙常数的“复活”,大量实验被设计出来以确定其是否精确为0。某种程度上,“理固宜然”,因为宇宙常数的大小本来就不是先验的。老Einstein被偏见追赶得太急了。

Hubble常数的精确测量也是宇宙学中难题。比较有把握的是它大致在70 (km/s)/Mpc左右。

人类的生命只是瞬息,但这不能阻止他们揣度宇宙的命运:

I could be bounded in a nutshell, and count myself a king of infinite space, were it not that I have bad dreams.

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